Vectores

Cap´ıtulo 1

VECTORES

1.1 Magnitud escalar

Magnitud escalar es aquella cuya determinacio´ n solo requiere el conocimiento de un nu´ mero real y de una unidad de medida. El nu´ mero indica la cantidad de veces que la magnitud medida contiene a la unidad considerada.

Ejemplos t´ıpicos de magnitudes escalares son: la longitud, la masa, el tiempo, el trabajo, la

energ´ıa, etc.. y cualquier nu´ mero real.

1.2 Magnitud vectorial

Es una magnitud para cuya determinacio´ n se requiere adema´s del conocimiento de la mag- nitud escalar, su direccio´ n y su sentido.

Ejemplos de magnitudes vectoriales son: la velocidad, la aceleracio´ n, la fuerza, la cantidad

de movimiento..

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado

Consideramos el espacio tridimensional euclideo, es decir el espacio en el que acontecen los fenome´nos f´ısicos, y denominamos “E” al conjunto de los puntos de este espacio. Generamos a continuacio´ n el conjunto producto cartesiano ExE, el cual estara´ formado por pares de puntos ordenados de este espacio, y constituimos un nuevo conjunto que deno- minaremos (ExE)*, el cual es igual al conjunto anterior, pero en el que se han suprimido los elementos diagonales, estando por tanto este conjunto formado por pares ordenados de puntos distintos del espacio. Este conjunto podra´ ser expresado como:

(ExE)* = {(ExE) − (x, x)} ; ∀x ∈ E

Como podemos observar, cada elemento de este conjunto es un segmento orientado, siendo

→B =

→A ya que en el producto cartesiano el elemento AB es distinto del elemento BA.

Definimos los vectores ligados como el conjunto ordenado de los elementos del conjunto

1

(ExE)*, an˜ adiendo adema´s el vector nulo ~0, es decir:

{(ExE)*, ~0 }

Las caracter´ısticas que definen a un elemento de este conjunto, es decir a un vector fijo son las siguientes:

• Modulo |A~B|: Es un real positivo asociado a la recta AB y define la longitud del segmento que une los puntos A y B.

• Direccio´ n: Es la de la recta sobre la cual se encuentra el segmento AB.

• Sentido: Viene dado por la ordenacio´ n de puntos A y B.

• Localizacio´ n o punto de aplicacio´ n: Es el primero de los puntos que constituyen el par ordenado.

1.4 Concepto de vector libre

Dentro del conjunto de los vectores libres ya definido, introducimos una relacio´ n que deno- minaremos de equipolencia, “L”, a la cual enunciamos as´ı:

Dos vectores fijos son equipolentes entre s´ı, cuando ambos tienen igual mo´ dulo, direccio´ n y sentido.

Dicha relacio´ n es fa´cil de comprobar que se trata de una relacio´ n de equivalencia, pues cum-

ple las propiedades reflexiva, sime´trica y transitiva.

As´ı pues, el conjunto de los vectores fijos habra´ quedado dividido o clasificado en unas cla- ses de equivalencia; en cada una de las cuales se encontrara´n todos los vectores equipolentes entre s´ı. El conjunto de estas clases (cada clase puede ser idealizada en un so´ lo elemento representante), es el conjunto de los vectores libres.

Dicho conjunto podra´ ser expresado as´ı:

{(ExE)*/L, ~0 }

Un vector libre vendra´ definido por:

• Mo´ dulo.

• Direccio´ n.

• Sentido.

Un ejemplo de magnitud f´ısica representada por un vector libre es el “par”, el cual puede ser localizado en cualquier punto del espacio.

1.5 Concepto de vector deslizante

Dentro del conjunto de los vectores fijos introducimos una nueva relacio´ n que denominare- mos ‘D” y que la enunciames como sigue:

Dos vectores fijos esta´n relacionados si son colineales, tienen igual mo´ dulo y el mismo sen-

tido.

Es fa´cil comprobar que esta relacio´ n ‘D” es tambie´n de equivalencia.

El conjunto de las clases en que se divide el conjunto de los vectores fijos al introducir esta relacio´ n, es el conjunto de los vectores deslizantes, el cual podra´ ser expresado as´ı:

{(ExE)*/D, ~0 }

Un vector deslizante quedara´ definido por:

• Mo´ dulo.

• Recta de aplicacio´ n.

• Sentido.

Ejemplo de vectores deslizantes son las fuerzas que actu´ an sobre so´ lidos indeformables

1.6 Producto de un vector por un escalar

Es una operacio´ n definida tanto para vectores libres, como ligados, como deslizantes. Consiste en asociar a un vector ~a y a un escalar λ, un nuevo vector (del tipo del de ~a, es decir,

libre, ligado o deslizante) que representaremos por λ • ~a y que se obtiene de modo que:

1. |λ • ~a| = |λ| • |~a| Donde:

|λ|: Valor absoluto de λ

|~a|: Mo´ dulo del vector ~a

2. La direccio´ n y sentido de λ • ~a es igual a la direccio´ n y sentido de ~a en el caso de que

λ > 0, y de sentido contrario cuando λ < 0.

1.7 Suma de vectores

Es una operacio´ n definida para:

• Vectores libres

• Vectores deslizantes, caso de que sus rectas de accio´ n se corten en un punto

• Vectores fijos, caso de que sus puntos de aplicacio´ n coincidan

a

s

b

Figura 1.1: Suma geome´trica de dos vectores

Se trata de una ley de composicion interna, que a dos vectores dados asocia un tercer vector, que viene dado por la composiccio´ n geome´trica denominada ley del paralelogramo:

~s = ~a + ~b

Cuando se trata de la suma de ma´s de dos vectores se procedera´ sumando los dos primeros, y a continuacio´ n sumando su resultado con el tercero y as´ı sucesivamente, o bien, efectando la composicio´ n geome´trica siguiente, denominada pol´ıgono de vectores:

b

c

a

s

Figura 1.2: Suma de ma´s de dos vectores

~s = ~a + ~b + ~c

Con respecto a esta operacio´ n suma el conjunto de los vectores tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo,

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