VECTORES

UNIDAD I

VECTORES

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Determinar los valores de p, q y r tales que la igualdad propuesta sea válida.

a) (p, 2q, r-1) = (5, q, 2r)

b) (p + 1, 2q+3, 2r+1) = (3, q + 1, r-2)

Solución:

a) (p, 2q, r-1) = (5, q, 2r)

Para que se cumpla la igualdad propuesta, es necesario que las componentes de ambos vectores sean iguales. Igualándolas, nos queda:

p = 5

2q = q

r-1 = 2r

p = 5

2q-q = 0

r-2r = 1

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, resulta:

p = 5 , q = 0 , r = -1

b) (p +1, 2q+3, 2r+1) = (3, q +1, r-2)

Para que se cumpla la igualdad propuesta, es necesario que las componentes de ambos vectores sean iguales. Igualándolas, nos queda:

p +1 = 3

2p+3 = q +1

2r+ 1 = r - 2

p = 2

2q – q = -3 + 1

2r + -r = -1-2

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, resulta:

p = 2, q = -2 , r = -3 ,

2.-Determinar los valores de p, q y r tales que la igualdad propuesta sea valida.

a) (p + q, 2p-q, r + 1) = (3, 3, 3)

b) (3p-r, p + 2r, 3q) = (1, 5, q)

Solución:

a) (p + q, 2p-q, r + 1) = (3, 3, 3)

p +q = 3

2p-q = 3

r + 1 = 3

p = 3 – q

2p-q = 3

r = 2

p = 3 – q

6 – 3q = 3

r = 2

p = 2, q = 1, r = 2

b) (3p-r, p +2r, 3q) = (1, 5, q)

3p – r = 1

p + 2r = 5

3q = q

3p – r = 1

p + 2r = 5

2q = 0

p = 1 , q = 0, r = 2

3.-Sean v = (3, 1, 2) , u = (-2, 6, 3), r = 2 y s = -3. Determinar un vector o un escalar igual a la expresión dada.

a) v + u b) r v + su c) (r – 2s)u

Solución:

a) v + u = (3, 1, 2) + (-2, 6, 3)

v + u = (3-2, 1+6,2+3)

v + u = (1,7,5)

b) r v + su = 2(3, 1, 2) - 3(-2, 6, 3)

r v + su = (6,2,4) – (-6,18,9)

r v + su = (6+6,2-18,4-9)

r v + su = (12,-16,-5)

c) (r – 2s)u = (2-2(-3))(6,2,4)

(r – 2s)u = (2+6)(6,2,4)

(r – 2s)u = 8(6,2,4)

(r – 2s)u = (48,16,32)

4.- Sean s, t y v los vectores en . Demostrar cada una de las siguientes proposiciones.

a) s + t = Є

b) s + t = t + s

c) v + 0 = 0 + v = v

Solución:

a) s + t =

 s + t = Є

b) s + t = t + s



 =

Como, los elementos de R conmutan, se cumple la igualdad.

c) v + 0 = 0 + v = v





 = = v

5.- dado r = (2,3), s = (-3,1) y t = (4,-2), calcular cada uno de los siguientes vectores

a) r + s

b) r – s

c) r + s – t

d) r – s –t

Solución:

a) r + s = (2,3) + (-3,1)

 r + s = (2-3, 3+1)

 r + s = (-1,4)

b) r – s = (2,3) – (-3,1)

 r – s = (2++3, 3-1)

 r – s = (5,2)

c) r + s – t = (2,3) + (-3,1) + (4,-2)

 r + s – t = (2-3+4, 3+1-2)

 r + s – t = (3,2)

d) r – s – t = (2,3) – (-3,1) – (4, -2)

 r – s – t = (2+3-4, 3-1+2)

 r – s – t = (1,4)

6. Se tira un barco por medio de dos cables para ayudarlo a pasar por unas esclusas. La resultante de la fuerza ejercida por los cables es de 1500 Lb paralela al eje del barco, determinar a) la tensión en cada cable para un valor α= 25º b) el valor de a para que la tensión del cable 2 sea mínima.

a) Se construye el paralelogramo

Por ley de senos:

Se deja como ejercicio despejar T1 y T2 y darlo en unidades del SI.

b) No se conocen la dirección y magnitud del vector T2 ni tampoco la magnitud del vector T1. De entrada podríamos decir que hay 3 incógnitas y solo dos ecuaciones y que seria un sistema que no tiene solución. Analicemos la pregunta que se nos hace y nos damos cuenta que en ella está involucrada la otra condición, el valor mínimo de T2!. Si construimos el triángulo nos damos cuenta que el valor mínimo se consigue cuando hay un ángulo recto entre T1 y T2.

Como se forma un triángulo rectángulo, se aplica trigonometría para encontrar magnitudes.

7.- Dados v Є ; r , s Є demostrar cada una de las siguientes afirmaciones:

a) rv Є

b) si, rv = sv y v 0 entonces r = s

c) 1v = v

d) (-1) v = -v

e) (r + s) v = rv + sv

Solución :

Sea v =

a) rv = r = Є

b) si, rv = ev y v 0 entonces r = s

rv = sv  rv – sv = 0  (r – s) v = 0

pero, v 0

luego, r – s =  r = s

c) 1v = v

1 = =

c) (-1) v = -v

(-1) = = -

d) (r + s)v = rv + sv

(r + s) = r + s

((r + s) ) = +

((r + s) ) =

((r + s) ) = ( ) T&T

8.-Determine la dependencia o independencia lineal de los siguientes grupos de vectores

a)

-

Son L.D.

b)

=0 Son L.D.

c)

Son L.I.

...