Vectores

Introducción

los vectores son importantes porque mediante las reglas del algebra vectorial(suma resta multiplicación de vectores) se pueden solucionar problemas en la ingeniería, la mecánica y la física, por ejemplo en la ingeniería se representa mediante vectores las fuerzas q actúan sobre una estructura determinada(vivienda ,puente ,edificio, etc.) y luego se procede a los cálculos respectivos guiados por el algebra vectorial, hallando las resultantes q finalmente nos permitirán diseñar y calcular la construcción de determinada obra como las arriba mencionadas, en física los vectores son herramientas fundamentales para representar velocidades y fuerzas ayudan a analizar y resolver problemas, como por ejemplo cuando realizamos el diagrama de cuerpo libre q no es otra cosa que la representación de todas las fuerzas q actúan sobre determinado cuerpo y una vez ubicadas estas fuerzas calcular los efectos de que producen.

En el siguiente trabajo estudiaremos algunos de estos vectores como los son el vector fijo y sus características, la expresión de un vector en forma polar, vectores libres en plano, la adición, resta de vectores, así como también otros vectores relacionados con éstos que nos permitirán entender conocer y comprender un poco más de ellos y como se desarrollan estos vectores e interactúan con la realidad.

1.- Vector fijo:

Es un segmento orientado que va a estar definido por un par de puntos, que son sus extremos y un par de puntos definirá el segmento orientado. Es decir que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

2.- Característica de un vector:

Las características de un vector son:

1.- Una dirección: La dirección del vector, es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

2.- Un sentido: El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B. la dirección dada (sea derecha o izquierda).

3.- Un módulo: El módulo del vector es la longitud que indica, en una escala, el valor numérico, de la magnitud que representa.

En la siguiente imagen se puede ver que el vector cumple con lo antes escrito, es decir que tiene una dirección, un sentido que va del punto A al punto B de izquierda a derecha, siendo A el origen y B el extremo, cumple con las características de un vector.

3.- Vectores equipolentes:

Son aquellos que tienen la misma dirección, mismo sentido e igual módulo. Es decir, son paralelos, tienen el mismo tamaño, van hacia el mismo lado y solo cambian los puntos del vector. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes. Como se demuestra en la imagen:

En la imagen del cuadro conformado por vectores podemos decir que los vectores BC y AD son equipolentes entre sí, mientras que los vectores AD y BC son opuestos entre si y a su vez todos tienen el mismo módulo porque miden lo mismo, su longitud es igual.

4.- Expresión de un vector en forma polar:

La forma polar es cuando un vector lo defines dando su módulo y el ángulo que forma. Por ejemplo v=2 y ángulo 40º. Significa que el vector tiene módulo 2 y forma un ángulo de 40º con respecto al eje x.

5.- Vector libre del plano:

Es todo vector del plano que tiene mismas características, mismos módulo, dirección y sentido. Y cada vector fijo que pertenezca al vector libre lo llamaremos representante de dicho vector libre. También podríamos decir que es un conjunto de todos los vectores que son equipolentes entre sí.

En la imagen del cuadro conformado por vectores podemos decir que los vectores BC y AD son equipolentes entre sí, mientras que los vectores AD y BC son opuestos entre si y a su vez todos tienen el mismo módulo porque miden lo mismo, su longitud es igual.

Ejercicio:

Si AB= (2,-1, 1) y A (1, 1,-3), calcular B?

AB= OB-OA= (2, -1, 1)= OB- (1, 1,-3)=

OB= (2, -1, 1) + (1, 1,-3)=

OB= (3, 0, -2), entonces B sería: (3, 0, -2).

6.- Vectores notables:

Los vectores notables del plano son los vectores i= (1, 0) y j= (0, 1). Ambos son vectores unitarios, es decir, miden cada uno una unidad. El vector i es paralelo al eje de abscisas; el vector j es paralelo al de ordenadas.

7.- Adición de vectores:

Para sumar dos vectores libres, A y B se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. Entonces de dicha teoría se dice que: si A= (X1, Y1) y B= (X2, Y2), el vector AB o el resultante R es igual a la suma de las X y de las Y. AB= R= (X1¬+ X2, Y1 +y2).

Ejercicio:

A= (2, 3) y B= (1,3), entonces:

A+B= 2+1, 3+3

A+B= (3, 6), este sería el nuevo vector que resulta de la suma de los vectores dados.

8.- Resta de vectores:

Para restar dos vectores libres A y B se suma A con el opuesto de B. los componentes del vector resta se obtiene restando los vectores.

Ejercicio:

A= (5, 4), B= (2, -1)

(A)+ (-B)= A-B= (5-2), (4-(-1)=

A-B= (3, 5)

9.- Multiplicación de un número real por un vector:

Los vectores pueden multiplicarse por un número real cualquiera. Por ejemplo si tenemos un vector v y lo multiplicamos por 3, el resultado es un nuevo vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido que v y un módulo 3 veces mayor. El producto de un número real R por un vector u→ es otro vector Ru→ que tiene:

La misma dirección que u→.

Su módulo es igual al módulo de u→ por el valor absoluto de R.

|Ru→|=|R|⋅|u→|

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