Vectores

INTRODUCCIÓN

Los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizó a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton Stokes, Maxwell y Heaviside, y del americano Gibbs (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del x para el producto vectorial), se amplió el cálculo vectorial, introduciendo nociones más complejas, como los operadores vectoriales: gradiente, divergencia y rotacional.

Asimismo, en las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.

Visto así, en el presente trabajo se estudian varios aspectos relacionados con los Vectores, donde se da a conocer de manera clara y sencilla su contenido para comprender mejor el tema.

VECTORES

1.- Defina Vectores, Elementos, Notación De Un Vector y Vectores Opuestos.

•Definición: Es un segmento de recta orientado, que sirve para representar las magnitudes vectoriales.

También, se define como un segmento de recta que tiene dirección, módulo y sentido, es decir que está orientado en el espacio.

Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la de la flecha.

Elementos:

El vector está comprendido por los siguientes elementos:

La Dirección: esta determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua.

La orientación o sentido: Indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

Origen y Extremo: esta determinado por el punto de inicio del vector y cual es el final

Módulo: es el número positivo que representa la longitud del vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Notación de un Vector:

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

Ejemplos:

... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y ... o ... para los módulos.

Representación de los vectores.

Vectores Opuestos:

Son vectores con la misma dirección pero sentidos opuestos. Así el vector opuesto a es .

Los vectores opuestos tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario.

2.- Representación de un Vector en el Plano y Componentes de un Vector.

Representemos un vector en un sistema de coordenadas cartesianas.

El vector v tiene origen en y extremo en .

Se llaman componentes del vector a las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados. O dicho en otras palabras a los desplazamientos que hay que realizar para moverse desde el origen del vector hasta su extremo.

En el gráfico vemos que vx y vy son las proyecciones del vector sobre los ejes.

El vector v puede describirse con sus componentes.

No hay que confundir las componentes del vector con las coordenadas de un punto, el contexto en el que nos estemos manejando nos aclarará dicha situación.

Ejemplos de vectores con sus Componentes.

Las componentes de un vector se pueden obtener restando las coordenadas del extremo de un vector y de su origen.

Teniendo en cuenta los dos ejemplos anteriores.

3.- Defina y de Ejemplo de Vectores Equipolentes.

Definición:

Son vectores libres que tienen igual módulo, misma dirección y sentido. Sus rectas soportes son paralelas o coincidentes. Por lo tanto, estos vectores tendrán las mismas componentes cartesianas.

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.

Un MÓDULO: El módulo de un vector fijo es la distancia de sus extremos.

Una DIRECCIÓN: viene dado por la recta sobre la cual está situado el vector, que tiene una pendiente fija.

Un SENTIDO: viene a indicar un sentido de la recta

Se suelen representar , , ..., o con negrita, U, V, A, B, ...

Finalmente, se puede decir que dos vectores y se llaman EQUIPOLENTES si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Observa que parece que el vector se ha trasladado paralelamente a sí mismo hasta ocupar la posición del vector .

Entonces, los vectores y son equipolentes, el polígono ABDCA es un paralelogramo.

Ejemplo:

Según esta primera idea podemos encontrar numerosos vectores fijos con estos tres elementos idénticos. Así por ejemplo en la siguiente figura tenemos seis vectores

todos ellos con el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

También, por ejemplo fijado un vector AB y un punto C, existe un vector equipolente a AB con origen en C

Se lee: “El vector AB es equipolente al CD

4.- Adición de Vectores y Propiedades.

Adición de Vectores:

Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero. Hay autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puede sumar mediante el método del paralelogramo.

Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos

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