Vectores

Ensayo "Vectores"

Electromagnetismo

Instituto Tecnológico de Veracruz

“Con frecuencia nos encontramos con cantidades físicas que tienen propiedades tanto numéricas como direccionales. Las cantidades de esta naturaleza son cantidades vectoriales. A continuación se describirán las propiedades generales de las cantidades vectoriales, así como operaciones y sus componentes.”

Introducción

El Análisis Vectorial es una excelente herramienta matemática con la cual es posible expresar en una forma más conveniente y para comprender mejor muchos conceptos de la Física, en particular aquellos que están relacionados con la teoría electromagnética.

Dibujar un diagrama de una situación física particular siempre es útil y esto es especialmente cierto al trabajar con vectores.

Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos). Existen muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares.

También existen magnitudes para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud (¡camine 5 metros por Alameda hacia el Este!).Estas magnitudes se denominan vectoriales, y operan según el Álgebra Vectorial.

Este ensayo esta hecho con el propósito de explicar algunos temas relacionados con vectores, los métodos que se pueden seguir, cuales son sus componentes, sus propiedades y demás.

Tiene como objetivos

• Distinguir entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial.

• Analizar las diferentes operaciones con vectores

• Mostrar las relaciones matemáticas entre coordenadas rectangulares y coordenadas polares.

• Relacionar las funciones trigonométricas con el estudio de vectores.

DESARROLLO

1.1-Sistema de coordenadas (cartesianas y polares)

Muchos aspectos de la física incluyen una descripción de una ubicación en el espacio. En dos dimensiones esta descripción se logra gracias al sistema de coordenadas cartesianas, en el que ejes perpendiculares cruzan en un punto definido como el origen (figura 3.1). Las coordenadas cartesianas también se llaman coordenadas rectangulares.

A veces es más conveniente representar un punto en un plano por sus coordenadas polares planas (r, teta), como se muestra en la figura 3.2a.

En este sistema de coordenadas polares, r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas cartesianas (x, y), y Θ es el ángulo entre un eje fijo y una línea dibujada desde el origen hasta el punto. El eje fijo es el eje x positivo y Θ se mide contra el sentido de las manecillas del reloj desde el mismo.

1.2-Cantidades escalares y vectoriales

Algunas cantidades físicas, como el tiempo, temperatura, masa y densidad se pueden describir completamente con un número y una unidad. No obstante, en física muchas otras cantidades importantes están asociadas con una dirección y no pueden describirse con un solo número.

Una cantidad escalar se especifica por completo mediante un valor único con una unidad adecuada y no tiene dirección.

Ejemplos de cantidades escalares son volumen, masa, rapidez e intervalos de tiempo. Las reglas de aritmética ordinaria se usan para manipular cantidades escalares. Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud que consta de un número y una unidad. Por ejemplo, rapidez (15 mi/h), distancia (12 km) y volumen (200 cm3).

Una cantidad vectorial se especifica por completo mediante un número y unidades apropiadas más una dirección.

Una cantidad como la velocidad, que tiene magnitud, dirección y sentido, es una cantidad vectorial.

Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección. Por ejemplo, desplazamiento (20 m, N) y velocidad (40 mi/h, 30° N del O).

1.3-Resultante

La flecha dibujada desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo vector representa entonces la suma o resultante de los dos vectores.

Los métodos gráficos sirven para hallar la resultante de todo tipo de vectores. No se limitan sólo a la medición de desplazamientos, pues son particularmente útiles para encontrar la resultante de numerosas fuerzas.

1.4-Suma grafica de vectores -Método del paralelogramo

En este método, los dos vectores se dibujan a partir de un origen común, y se construye un paralelogramo usando los dos vectores como lados adyacentes, como se muestra en la figura

3-6b. La resultante es la diagonal dibujada desde el origen común. En la figura 3-6a se presenta el método cola a punta y es claro que ambos métodos dan el mismo resultado.

También se usa esta construcción geométrica para sumar más de dos vectores, como se muestra en la figura 3.7 para el caso de cuatro vectores. El vector resultante RS = AS + BS + CS +DS es el vector que completa el polígono. En otras palabras, RS es el vector dibujado desde el origen del primer vector a la punta del último vector.

1.5-Funciones trigonométricas

Las tres funciones trigonométricas básicas definidas son el seno (sen), el coseno (cos) y la tangente (tan). En términos del ángulo “teta”, estas funciones se definen del modo siguiente:

a =lado opuesto

b = lado adyacente

c = hipotenusa

El teorema de Pitágoras proporciona la siguiente relación entre los lados de un triángulo recto:

A partir de las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras se sigue que

Las funciones cosecante, secante y cotangente se definen como

EJEMPLO!

Un viaje de vacaciones

Un automóvil viaja 20.0 km al norte y luego a 35.0 km en una dirección

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