PRODUCTO NOTABLE - Ejercicios

PRODUCTO NOTABLE

Producto Notable

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

[pic 1][pic 2]

Un trinomio de la forma: a2 + 2ab + b2, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:[pic 3]

[pic 4]

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo

(2x – 3)2 = (2x)2 – 2(2x)(3) + (3)2                                                          (2x + 3)2 = (2x)2 + 2(2x)(3) + (3)2

Simplificando:                                                             Simplificando:

(2x – 3)2 = 4x2 – 12x + 9                                      (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9

ACTIVIDAD

Resolver los siguientes Productos Notables:

Cuadrinomio cubo perfecto  (Recuerdo: “Cubo de un Binomio”)

Binomio al cubo

1. (a ± b)3  = a3 ± 3(a2.b) + 3( a.b2 )± b3

(x + 3)3   = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 =

1. = x 3 + 9x2 + 27x + 27

(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x · 32 − 33 =

              = 8x 3 − 36x2 + 54x − 27 [pic 5]

ACTIVIDAD

Factorizar  el Cuatrinomio cubo perfecto

DIFERENCIA DE CUBOS:     a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:     8 – x3 = 0               23 – x3 = (2 – x) (4 + 2x + x2)

SUMA DE CUBOS:                 a3 + b3 =  (a + b) (a2 – ab + b2)

 Ejemplo:  27a3  + 1 =0        (3a)3 + 13 = (3a + 1) (9a2 – 3a + 1)

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios

1. Diferencia de cuadrados

2. Suma o diferencia de cubos

3. Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto

2. Trinomio de la forma x²+bx+c

3. Trinomio de la forma ax²+bx+c

Factor común

Procedimiento:

• Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)
• Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

Ejemplos: [pic 11]

[pic 12]

Actividad

Halla el factor común de los siguientes ejercicios:[pic 13]

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

Ejemplo: 5x2(x – y) + 3x(x – y)

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

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