Para Matemáticos

Para Matemáticos

Sea XOmega, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea YOmega, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Omega, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X≠Y|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta.)

Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.

Porque Sucede Esto?

Porque lo que muestra el presentador no afecta a tu elección original, sino sólo a la otra puerta no escogida. Una vez se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de dos puertas tenía una probabilidad de contener el coche de 2/3, entonces, si una tiene una probabilidad de 0, la otra debe tener una probabilidad de 2/3. La elección, básicamente, consiste en preguntarte si prefieres seguir con tu puerta original o escoger las otras dos puertas. La probabilidad de 2/3 se traspasa a la otra puerta no escogida (en lugar de dividirse entre las dos puertas restantes de modo que ambas tengan una probabilidad de 1/2) porque en ningún caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente. Si el presentador escogiese al azar entre las dos puertas con cabras (incluyendo la del concursante), abriese una de ellas y luego diese de nuevo a elegir, entonces las dos puertas restantes sí tendrían la misma probabilidad de contener el coche.

Explicaciones Alternativas

El Problema con 100 Puertas

Una forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras, si no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo

...