Resorte de constante elastica

¿un resorte de constante elastica 112,5 N/m vibra con amplitud de 30,5 cm cuando se sujeta a el un bloque ...?

un resorte de constante elastica 112,5 N/m vibra con amplitud de 30,5 cm cuando se sujeta a el un bloque de masa m, 0,5 Kg. ¿Cual es la ecuacion que describe este moviento en funcion del tiempo (t)? Considera que en t= 0, el bloque pasa por la posicion de equilibrio

Las ecuación horaria del desplazamiento en los resortes es:

x = A sen(ωt + φ)

donde:

A = amplitud (30,5 cm = 0,305 m)

ω = velocidad angular

φ = fase inicial (como para t = 0 x = 0, significa que φ = 0º)

Tan sólo nos falta conocer la velocidad angular y ésta la obtendremos de su relación con la constante del resorte y la masa (por si interesa, te pongo la deducción de esa relación al final) :

ω = √(k/m)

En este ejercicio:

ω = √(k/m) = √(112 N/m / 0,5 kg) = 14,97 rad/s

► x = 0,305 sen(14,97 t)

Un saludo.

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Deducción de la expresión de la velocidad angular.-

Partimos de la ecuación de la posición:

x = A sen(ωt + φ)

Derivando respecto al tiempo se obtiene la ecuación de la velocidad:

v = dx/dt = A ω cos(ωt + φ)

Y derivando otra vez respecto al tiempo se obtiene la ecuación de la aceleración:

a = dv/dt = –A ω² sen(ωt + φ)

Pero como hemos visto en la primera ecuación que A sen(ωt + φ) = x si remplazamos ese valor en la última ecuación, la aceleración también puede escribirse así:

a = dv/dt = –A ω² sen(ωt + φ) = –ω² x

Por otra parte, según la ley de Hooke:

F = –k x

m a = –k x

a = –k x/m

Igualando esta expresión de la aceleración a la que ya teníamos (a = –ω² x) :

–ω² x = –k x/m

ω² = k/m

ω = √(k/m)

q.e.d.

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