Algebra lineal

MAT 113 -  Algebra Lineal

Pauta Prueba N1

Septiembre 10 -2016

1. a) Encuentre la matriz X que satisface la ecuacion

(X 􀀀 A)(X + A) = 􀀀(I + BA)t + X(X + A);

donde A =



1 􀀀2

􀀀2 3



, B =



1 4

􀀀1 􀀀4



e I es la matriz identidad de orden 2.

Solucion

Desarrollando la ecuacion se tiene

(X 􀀀 A)(X + A) = 􀀀(I + BA)t + X(X + A)

X2 + XA 􀀀 AX 􀀀 A2 = 􀀀(I + BA)t + X2 + XA

AX + A2 = (I + BA)t

A(X + A) = I + AtBt

Como det(A) = 3 􀀀 4 = 􀀀1 6= 0, A es invertible. Multiplicando por A􀀀1 ambos lados de

la igualdad, se obtiene

X + A = A􀀀1(I + AtBt)

X = A􀀀1(I + AtBt) 􀀀 A

X = A􀀀1 + A􀀀1(AtBt) 􀀀 A:

Note que A es simetrica ya que At = A. Luego

X = A􀀀1 + Bt 􀀀 A:

Determinando A􀀀1 =



􀀀3 􀀀2

􀀀2 􀀀1



y Bt =



1 􀀀1

4 􀀀4



, se obtiene nalmente que

X =



􀀀3 􀀀1

4 􀀀8



Criterios de Correccion

Por desarrollar la ecuacion hasta A(X + A) = I + AtBt o hasta una expresion

equivalente, asignar 2 puntos.

Por determinar que A es invertible, asignar 2 puntos.

Por despejar X y dejarlo expresado en terminos de A y B, asignar 2 puntos.

Por determinar X correctamente, asignar 2 puntos.

b) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justique su respuesta.

i) Si A y B son matrices simetricas y B es invertible, entonces AB +B􀀀1 es simetrica.

Solucion

Para que (AB + B􀀀1) sea simetrica, se debe vericar que

AB + B􀀀1 = (AB + B􀀀1)t

Partiendo del lado derecho de la igualdad, se tiene

(AB + B􀀀1)t = (AB)t + (B􀀀1)t = BtAt + (Bt)􀀀1

Como A y B son simetricas, At = A y Bt = B, luego

(AB + B􀀀1)t = BA + B􀀀1:

Puesto que AB = BA no es siempre cierto, se concluye que el valor de verdad de la

proposicion es falso.

Criterios de Correccion

Por utilizar la denicion de matriz simetrica e identicar lo que se debe vericar,

asignar 1 punto.

Por aplicar correctamente las propiedades de la transposicion de multiplicacion

de matrices, asignar 1 punto.

Por aplicar correctamente las propiedades de la transposicion de inversa de ma-

trices, asignar 1 punto.

Por determinar correctamente el valor de verdad, asignar 1 punto.

Observacion: Si el alumno da un contraejemplo, asignar 4 puntos.

ii) Si A es una matriz cuadrada de orden n y C = 2A + 3In donde In denota la matriz

identidad de orden n, entonces

traza(C) = 2 traza(A) + 3n:

Solucion

Sea C = [cij ]nn, con cij =



2aij si i 6= j

2aij + 3 si i = j

traza(C) =

Xn

i=1

cii =

Xn

i=1

(2aii + 3) = 2

Xn

i=1

aii +

Xn

i=1

3 = 2 traza(A) + 3n

Luego el valor de verdad de la proposicion es verdadero.

Criterios de Correccion

Por aplicar la denicion de la traza de una matriz, asignar 1 punto.

Por armar que la proposicion es verdadera y demostrarla, asignar 2 puntos.

Observacion: Si el alumno aplica la propiedad traza(A + B) = traza(A) +

traza(B) y traza(A) = traza(A) para demostrar la propiedad asignar todo

el puntaje.

2. Sea A una matriz cuadrada de orden n, In la matriz identidad de orden n y

B =



A In

0 A



:

a) Conjeture una formula para Bn y demuestrela por induccion.

Solucion

Calculando las primeras potencias

B2 =



A In

0 A

 

A In

0 A



=



A2 2A

0 A2



B3 =



A2 2A

0 A2

 

A In

0 A



=



A3 3A2

0 A3



se conjetura que Bn =



An nAn􀀀1

0 An



.

Para demostrar la validez de esta formula se utiliza induccion.

Sea p(n) la proposicion, p(n) : Bn =



An nAn􀀀1

0 An



.

Como p(1) : B1 =



A1 1
A1􀀀1

0 A1



=



A In

0 A



se tiene que p(1) es verdadera.

Suponiendo que p(n) : Bn =



An nAn􀀀1

0 An



es verdadera para n > 1, se debe demostrar

que p(n + 1) es verdadera. En efecto,

p(n + 1) : Bn+1 = BnB =



An nAn􀀀1

0 An

 

A In

0 A



=



An+1 (n + 1)An

0 An+1



:

Por el principio de induccion matematica se concluye que Bn =



An nAn􀀀1

0 An



es valida

para todo n 2 N.

Criterios de Correccion

Por calcular dos o mas potencias de B, asignar 2 puntos.

Por conjeturar una formula basada en las potencias obtenidas, asignar 3 puntos.

Por demostrar la formula usando induccion, asignar 3 puntos.

b) Si D =

2

664

2 1 1 0

0 2 0 1

0 0 2 1

0 0 0 2

3

775

, calcule D5.

Solucion

Al Considerar D como una matriz por bloques de orden (2 + 2)  (2 + 2), D =



A I2

0 A



donde A =



2 1

0 2



. Se observa que D es una matriz del mismo tipo que la matriz B del

item a por tanto se puede aplicar la formula deducida para el caso n = 5

D5 =



A5 5A4

0 A5



Si A se considera como una matriz por bloques de orden (1 + 1)  (1 + 1), A tiene la

misma estructura que la matriz D y se pueden determinar sus potencias haciendo uso

de la misma formula. As,

A5 =



25 5
24

0 25



y A4 =



24 4
23

0 24



:

De esta forma, D5 queda dada por:

D5 =

2

664

25 5
24 5
24 5
4
23

0 25 0 5
24

0 0 25 5
25

0 0 0 25

3

775

Criterios de Correccion

Por identicar D como una matriz

...