Analisis Estructural

CAPÍTULO 2

Método de análisis

de fuerza o de flexibilidad

2.1 INTRODUCCIÓN.

Este es uno de los métodos básicos del análisis de estructuras. En este capítulo nos proponemos describir el procedimiento y, después, formular la generalización del método para analizar estructuras reticulares estáticamente indeterminadas.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

Antes que todo, se determina el grado de indeterminación estática. Liego se introduce un número de liberaciones igual al grado de indeterminación, efectuándose cada liberación eliminando una fuera externa o interna. Las liberaciones se deben seleccionar de manera que la estructura restante sea estable y estáticamente determinada. Sin embargo, en algunos casos el número de liberaciones puede ser menor que el grado de indeterminación, siempre que la estructura estáticamente indeterminada restante sea tan sencilla que se pueda analizar fácilmente. En todos los casos, las fuerzas liberadas, que también se llaman fuerzas redundantes, se deben escoger cuidadosamente para que la estructura liberada se pueda analizar con facilidad.

Las liberaciones introducen incongruencias en desplazamientos y como segundo paso se determinan estas incongruencias o “errores” en la estructura liberada. En otras palabras, calculamos la magnitud de los errores en los desplazamientos que corresponden a las fuerzas redundantes. Estos desplazamientos de pueden deber a cargas externas aplicadas, asentamiento de los apoyos o variación de temperatura.

El tercer paso consiste en una determinación de los desplazamientos en la estructura liberada debidos a valores unitarios de las redundantes. Estos desplazamientos se necesitan en el mismo lugar y en la misma dirección que los desplazamientos calculados en el paso dos.

Ahora se determinan los valores de las fuerzas redundantes necesarias para eliminar los errores en los desplazamientos. Esto exige escribir ecuaciones de superposición en las que se suman los efectos de las fuerzas redundantes separadas a los desplazamientos de la estructura liberada.

En consecuencia, encontramos las fuerzas que actúan sobre la estructura indeterminada original: Conocidas las fuerzas redundantes, la estructura se puede resolver por simple estática.

Nomenclatura.

i : coordenada, número asociado a una redundante

D0i: Desplazamiento en la coordenada i, en la estructura liberada

Xi : redundante en la coordenada i

Dij : desplazamiento producido por la redundante Xj, en la coordenada i cuando solo actúa Xj. Si Xj = 1, entonces Dij se conoce coeficiente de flexibilidad fij

Ejemplo 2.1.

La viga ABC empotrada en C, descansa sobre apoyos de rodillo en A y B, y soporta una carga uniforme q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI. Encontrar los diagramas de de fuerza cortante y momento flector.

q por unidad de longitud

A B C

L L

a) viga continua considerada en el ejemplo

X2, D2

X1, D1

b) Estructura primaria y sistema coordenado

D01 D02

c) Carga externa sobre la estructura liberada

f11 f21

X1 = 1

d) X1 =1

X2 = 1

f12 f22

e) X2 = 1

(ql^2)/14

8/7 ql

f) Fuerzas redundantes

La estructura es estáticamente indeterminada en segundo grado, por lo que se deben eliminar dos fuerzas redundantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el momento y la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en A y B. Para los propósitos de este ejemplo, eliminaremos la reacción vertical en B y el momento en C. Entonces la estructura liberada es una viga simple AC con las fuerzas redundantes y los desplazamientos que se muestrean en la figura b). A la ubicación y dirección de las diversas fuerzas redundantes y los desplazamientos se hace referencia como sistema coordenado.

Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes X1 y X2 se eligen arbitrariamente pero las direcciones positivas de los desplazamientos en el mismo lugar deben coincidir con los de las fuerzas redundantes. Las flechas de la figura b) indican las direcciones positivas seleccionadas en el presente caso y, como las flechas representan fuerzas así como desplazamientos, es conveniente en un caso general identificar las coordenadas por medio de los números 1, 2, .. i, … n.

Siguiendo este sistema, la figura c) muestra los desplazamientos en B y C como D01 y D02 respectivamente. De hecho, como se ilustra en la figura a) los desplazamientos reales en estos puntos tienen valor cero, de modo que D01 y D02 representan las incongruencias en deformación

La magnitud de D01 y D02 se puede calcular por el comportamiento de la viga simplemente apoyada de la figura c) (estructura liberada). Para el objeto del presente ejemplo, podemos usar tablas. Por lo tanto:

D_01=-〖5qL〗^4/(24 EI) D_02= -(qL^3)/3EI

Los signos negativos indican que los desplazamientos son en direcciones opuestas a las direcciones positivas elegidas en la figura b)

Los desplazamientos debidos a valores unitarios de las redundantes se muestran en las figuras d) y e). Estos desplazamientos son como sigue (según tablas)

f_11=L^3/(6EI ) f_12=L^2/4EI

f_21=L^2/4EI f_22= 2L/3EI

El coeficiente general fij representa el desplazamiento en la coordenada i debido a una redundante unitaria en la coordenada j

Ecuaciones de compatibilidad.

Las relaciones geométricas expresan el hecho de que la traslación vertical en B y la rotación en C desaparecen. Los desplazamientos finales son el resultado de la superposición del efecto de la carga externa y de las fuerzas redundantes sobre la estructura liberada. Por lo tanto las relaciones geométricas de pueden expresar como

D_01+f_11 X_1+f_12 X_2=0

D_02+f_21 X_1+f_22 X_2=0

Matriz de flexibilidad

Las relaciones de la ecuación 2.1 se pueden escribir en forma de matriz

{D0} + [f]{X} = 0 (2.2)

Donde

{D_0 }={█(D_01@D_02 )} [f]= [■(f_11&f_12@f_21&f_22 )] y {X}={█(X_1@X_2 )}

...