Aplicacion de la elipse

[pic 1][pic 2]

ELIPSE

DEFINICION:

Una elipse es un lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante igual a 2a. Los puntos fijos F y F' se llaman focos. Gráficamente esto es:

 

 

[pic 3]

Dónde: PF + PF' = 2a

ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

1. Focos: son los puntos fijos F y F'. 
2. Eje focal: es la recta que pasa por los focos
3. Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF'. 
4. Centro: es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: son los segmentos que van desde el punto de la elipse a los focos: PF y PF'. 
6. Distancia focal: es el segmento de la longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. 
8. Eje mayor: es el segmento de la longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10. Eje de simetría: son las rectas que contienen al eje mayor o a el eje menor.
11. Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

RECTAS DIRECTRICES:

Dos rectas L1 y L2  se llaman rectas directrices de la elipse correspondiente a los focos F1 y F2  respectivamente si es que son perpendiculares al eje focal de la elipse y no cortan al segmento F1 y F2  y si es que existe una constante “e” llaman excentricidad de la elipse tal que para todo punto P € elipse se tiene que:

[pic 4]

ECUACIÓN DE LA ELIPSE

La ecuación de una elipse con centro en [pic 5] está dada por:

[pic 6] Elipse horizontal

[pic 7] Elipse vertical

Es de anotar que [pic 8] es el semieje mayor y [pic 9] es el semieje menor; además si [pic 10], el centro coincide con el origen, existe una relación muy importante entre los elementos de la elipse.

[pic 11]

EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE
para cualquier elipse, a la relación que existe entre c y a, se le conoce como excentricidad de una elipse y se denota con la letra “e”:

[pic 12]

La excentricidad indica el grado de achatamiento que posea. Nótese como siempre se cumple que . Estos e explica de la siguiente manera: si a se mantiene constante y el valor de c e hace muy pequeño, el cociente tiende a cero, entonces la elipse tiende a una redondez debido a que la distancia interfocal es muy corta. Por el contrario, si “a” se sigue manteniendo constante pero “c” se hace muy grande, el cociente tiende a uno y la elipse toma una forma muy achatada. Gráficamente, esto se observa en las siguientes figuras:[pic 13]

[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

                                                                                [pic 32][pic 33]

CASOS PARTICULARES DE LA ECUACION DE UNA ELIPSE

• EJE FOCAL PARALELO AL  EJE X:_

Corresponde al caso u = i = (1,0) donde no hay rotación y si C= (h, k) es el centro de la elipse que origina la traslación de ejes, entonces

X’ = x – h

Y’ = y – k

Que remplazando se obtiene:

[pic 34]

Ecuación de la elipse con eje focal paralelo al eje X

• EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y:

Corresponde al caso u = j = (1,0) donde hay rotación de 90º y si C= (h, k) es el centro de la elipse que corresponde a la traslación de ejes coordenados, entonces

X’ = (x – h, y – k).u

Y’ = (x – h, y – k).u¹

X’ = y – k; y’ = -(x – h)

Que remplazando se obtiene:

[pic 35]

Ecuación de la elipse con eje focal paralelo al eje Y

APLICACIÓN DE LA ELIPSE EN EL CAMPO DE LA INGENIERIA CIVIL

La elipse se ha disparado en varias ocasiones como distribución del plano como esquemática en alzado. En muchos casos no es elipses perfectas, sino que tiende a las formas ovaladas. Dada la similitud entre las dos figuras a tener en cuenta a la vez de todos modos.

ANFITEATRO ROMANO

La primera evidencia de la utilización de la máquina elíptica. Se remonta a Anfiteatro Romano. Esta forma podría ser el resultado de  la combinación de dos teatros de medio punto.

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38][pic 39]

PLAZA MEDIEVAL DE LUCCA

Las numerosas iglesias barrocas elípticas, especialmente las de Bernini y Borromini, Es una planta típica del siglo XVII. En la práctica es un "evolución la iglesia de planificación centralizada Renacimiento. La elipse se parece a un "Dinámica" del círculo, Ya que crea una tensión direccional que las iglesias del siglo XV no poseían.

Es la elíptica plaza medieval de Lucca precisamente porque se hace sobre un anfiteatro romano preexistente.

[pic 40]

[pic 41]

EL PUENTE SANTA TRINITA 

En Florencia (Por Bartolomeo Ammannati del siglo XVI.),  presenta arcos de sección elíptica Esto hace que sea posible tener grandes luces No aumente la piedra angular.[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

GENERALIFE. LA ALHAMBRA. GRANADA.

El Generalife es la villa con jardines habitada por los reyes musulmanes de granada como lugar de descanso, sus edificaciones tiene forma de elipse.

[pic 46]

PUENTE SOBRE EL SENA. PARIS

 En parís, hay treinta y siete puentes que se alzan sobre el Sena. Los puentes, construidos en diferentes épocas con la forma elipsoidal tienen un largo de aproximadamente 13 kilómetros.

...