Aplicaciones Funciones Trigonometricas

Graficas de funciones trigonométricas

Funciones trigonométrica.

La función seno: el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, el rango es el intervalo [-1.1]. Esto significa que el máximo valor de la función seno es 1 y el mínimo valor es -1; en otras palabras la función seno no puede ser mayor que 1 ni menor que -1. La función seno es periódica; esto quiere decir que su grafica continua indefinidamente de derecha a izquierda con la misma forma. La grafica seno es impar y continua.

La función coseno: el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, el rango es el intervalo [-1,1]. La función coseno es periódica, la función es par, puesto que: Cos(-A)=Cos A, lo cual significa que la gráfica es simétrica respecto al eje vertical. La función coseno es continua, es decir está definida para todos los elementos del dominio, intuitivamente su grafica no presenta saltos, por lo que es posible trazarla sin levantar la mano del papel.

Función tangente: El rango de la función es el conjunto de los números reales, la función es periódica y su periodo es 180°, por cuanto: Tan A = Tan (A+ k 180°). La función tangente es impar y no es continua, es creciente en todo su dominio.

La función de graficas con funciones trigonométricas es sencilla aunque muy utilizada; se utiliza en datos cíclicos.

Desde un punto de vista matemático los Modelos de comportamiento cíclico son las funciones seno y coseno. Una forma fácil de describir esas funciones es la siguiente: Imaginamos una rueda de bicicleta cuyo radio es la unidad, con un marcador fijo en el neumático de la rueda trasera, como se muestra en la siguiente figura.

Al girar la rueda, la altura h(t) de la marca sobre el centro de la rueda varía entre −1 y +1. Cuanto más rápido gira la rueda, más rápida es su oscilación. Como la rueda tiene una unidad de radio, su circunferencia (la distancia a su alrededor) es 2π/, donde π/ = 3.14159265.... Cuando el borde exterior de la rueda ha recorrido esta distancia, ha pasado exactamente por una revolución, y por lo tanto regresa a donde empezó. De este modo, si, en tiempo t = 0 el marcador comenzó en posición h(0) = 0, entonces regresa a cero después de una revolución. Si el ciclista se desplaza a la velocidad de una unidad por segundo, la rueda de la bicicleta se tardara 2π/ segundos en dar una revolución completa, y por lo tanto, la rueda se encuentra en el mismo punto en el que comenzó.

En la siguiente gráfica, que muestra las temperaturas diarias promedio en el Parque Central de Nueva York.

Cada año, el patrón se repite una y otra vez, resultando en la siguiente gráfica.

Aquí, la coordenada x representa el tiempo en años donde x = 0 representa el 1 de agosto, mientras que la coordenada y representa la temperatura en °F. Este es un ejemplo de comportamiento cíclico o periódico.

El comportamiento cíclico es común en el mundo de los negocios; Así como hay fluctuaciones estaciónales de temperatura en el Parque Central, las hay en la demanda de equipo para surfear, nadar, palas para nieve, y muchos otros artículos. La siguiente gráfica parece indicar que hay comportamientos cíclicos en el número de empleos de las afianzadoras en Estados Unidos.*

PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una función periódica es aquella que cumple que: f (x) = f (x + p), donde p es el periodo diferente de cero. En general, una función trigonométrica presenta tres parámetros fundamentales: Amplitud (A), Frecuencia k y Fase (α)

La primera es la que cambia el tamaño de la función, la segunda modifica el grado de repetición, y la última determina el desplazamiento de la función. Por ejemplo, específicamente para la función seno se tiene: f (x) = A⋅sen (kx + α). Cabe señalar que un signo (+) en la fase, implica que la función se adelante (o sea, se corre a la izquierda) y un signo (−) en la fase implica que la función se atrase (o sea, se corre a la derecha).

Ejemplo.

Trazar las gráficas de las siguientes funciones:

a) f (x) = 2 ⋅sen (x)

Solución:

Se aprecia como en la gráfica la amplitud es el doble (dos veces más grande) que la función f (x) = sen x, sin embargo la frecuencia y la fase no cambian

b) f (x) = sen (2x)

Solución.

En este caso, en la gráfica la frecuencia es del doble (se repite más), sin embargo la amplitud y la fase no cambian

c) f (x) = sen (x + π)

Solución.

La gráfica muestra como la función se adelanta π unidades (por el signo +), sin embargo la amplitud y la frecuencia no cambian

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