Axiomas de la probabilidad

Axiomas de la probabilidad

1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

2 Probabilidad del suceso imposible es cero.

3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

Regla de Laplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

Ejemplos

Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.

Casos favorables: 1.

En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).

Casos posibles: 40.

Casos favorables de ases: 4.

Casos favorables de copas: 10.

Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un número par.

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Casos favorables: {2, 4, 6}.

2 Un múltiplo de tres.

Casos favorables: {3, 6}.

3 Mayor que 4.

Casos favorables: {5, 6}.

Combinatoria y probabilidad

La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de sucesos.

Ejemplos

1 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas?

Casos posibles:

Casos favorables:

Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 • 9!.

2Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

4 ases.

4 ases y un rey.

3 cincos y 2 sotas.

Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

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