Probabilidad . Sistema de axiomas

capitulo I

Probabilidad

Dado un ensayo aleatorio llamaremos espacio muestral Ω al conjunto de eventos simples. Por ejemplo:

(1) Tirar un dado,  Ω={1,2,3,4,5,6}

(2) Tirar 2 dados, Ω={(1,1), (1,2),..., (5,6), (6,6)}

(3) Elegir un punto al azar en [0,1], Ω={x: 0≤x≤1}

Llamaremos evento a un subconjunto de Ω. Por ejemplo:

(1) A= “El número es par” = {2,4,6}

(2) B= “La suma es 10” = {(4,6), (5,5),(6,4)}

(3) C= {x: 0≤x≤1/2}

Probabilidad de un evento (motivación empírica). Repitamos un ensayo n veces y supongamos que un evento A del mismo aparece kn veces. Sea:

fn=kn/n= frecuencia relativa de A en n ensayos.

Es un hecho empírico que fn  tiende a un número fijo.  A este número lo llamamos probabilidad del evento A.

1.  Relaciones entre eventos 

Ω= espacio muestral= un conjunto.

Evento A= subconjunto de Ω

0= evento imposible (nunca ocurre)

Ω= evento cierto (siempre ocurre)

Como los eventos son conjuntos, valen para ellos las mismas operaciones y relaciones de los conjuntos pero se usan para ellas un lenguaje peculiar a la teoría de probabilidades:

(1) Si A⊂B decimos que la ocurrencia de A implica la ocurrencia de B

(2) Si A⊂B ∧ B⊂A ⇒ A=B.

(3) Ac = A no ocurre.

      0c = Ω,  Ωc = 0, Ac c = A, A⊂B⇒ Bc⊂Ac

(4) A+B = A ocurre o B ocurre o ambos ocurren = Por lo menos uno de los eventos ocurre.

     A+B=B+A, A+0=A, A+Ω=Ω, A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C.

     Dados A1,A2,A3,... escribimos ∑Ai = Por lo menos uno ocurre.

(5) AB= A y B ocurren simultáneamente.

     A0=0, AA=A, AΩ=A, AB=BA, (AB)C=A(BC)=ABC.

∏Ai = Ocurrencia simultánea de A1,A2,A3,...

(6) Leyes distributivas: (A+B)C=AC+BC,

 (7) A−B= A ocurre y B no ocurre= ABc

     A−B≠ B−A, (A−B)+B≠ A, (A−B)C=AC−BC, Ω−A= ΩAc= Ac.

(8) AΔB= (A−B)+(B−A)= ABc+AcB = Ocurre exactamente uno de los eventos. 

              A                    Ac                   A+B                    A−B

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A+B= Por lo menos uno de los dos eventos ocurre.  AB= Ambos eventos ocurren

AcBc= Ninguno ocurre     ABc+AcB= Exactamente uno de los eventos ocurre.

(A+B)c = Ac B c, (AB)c = Ac +Bc   (Relaciones de De Morgan ).

A+B+C= Por lo menos uno ocurre.  ABC= Los tres ocurren.

Ac BcCc = Ninguno ocurre.

A BcCc + Ac B Cc  +Ac BcC = Exactamente uno ocurre.  

ABCc + ABcC + Ac BC = Exactamente dos ocurren.

AB + BC+ AC = Por lo menos 2 ocurren.

Designemos mediante B a una familia de subconjuntos de Ω. . Decimos que B  es una algebra si es cerrada bajo un número finito de operaciones de conjuntos. Más precisamente, (1) A∈ B ⇒

 Ac∈ B (2) A,B∈ B ⇒ A+B∈B.  Se deduce que AB, A−B y AΔB pertenecen a B.

Decimos que B es una σ−algebra si es cerrada bajo un número infinito contable de operaciones de conjuntos. Mas precisamente: (1) A∈ B ⇒ Ac∈ B (2) An∈B⇒ ∪An∈ B. En particular, se deduce que si An∈B ⇒ ∩An∈B.

Un ejemplo de un algebra que también es σ−algebra es la familia de todos los subconjuntos de  Ω.

2.  Sistema de axiomas

Dado un espacio muestral  Ω y una familia de eventos B ={ Aα}, Aα⊂Ω, queremos asociar a cada evento Aα un número P(Aα), probabilidad de Aα , que satisfaga las propiedades sugeridas por la frecuencia relativa empírica. Primero consideraremos el caso en que Ω es finito.

Ω= {ω1 ,ω2 , ... , ωm}. B = familia de todos los subconjuntos de Ω.  B tiene 2m eventos: C(m,1)+

C(m,2)+...+C(m,m)= 2m−1 más el evento imposible.

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