Cálculo Diferencial . Ingeniería Industrial

Brayan Axel Ramírez Castor

Cálculo Diferencial

Ingeniería Industrial

Instituto Tecnológico de Saltillo

Unidad V

[pic 1]

Contenido

Introducción        3

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto        3

Ejemplos        4

Teorema de Rolle y teoremas del valor medio        7

Ejemplos        9

[pic 2] Función creciente y decreciente        10

Ejemplos        11

Máximos y mínimos de una función        12

Ejemplos        12

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos        14

Ejemplos        15

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos        16

Ejemplos        16

Conclusiones        18

Fuentes Bibliográficas        19

Introducción

En este documento se busca tener una base sólida y procedimiento para así, en un futuro tener la información a la mano, así como aprender varias propiedades de las derivadas, y en el proceso demostrar que es algo que si es de utilidad en el área de ingeniería

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto

La tangente a la curva en un punto es una línea que pasa a través del punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. La tangente es un caso especial donde el espacio es tangente a la dimensión diferenciable.

Sea C una curva y A un punto regular, es decir, un punto que no es una esquina donde se puede diferenciar la curva, por lo tanto, en A, la curva no cambiará repentinamente de dirección. La tangente a C en A es la recta TA que pasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A.

La tangente es la posicion limite de la recta secante (AM)(el segmento AM se llama cuerda de la curva), cuando M es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto A (M se desplaza sucesivamente por M1, M2, M3 …)

Si C representa una función f, entonces la rectaa AM tendra como pendiente:

[pic 3]

Donde (a, f(a)) son las coordenadas del punto A y (x, f(x)) las del punto M. Por lo tanto la pendiente de la tangente TA será:

[pic 4]

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es TA:

[pic 5]

[pic 6]

Ejemplos

1. Dada la parábola [pic 7], hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal en dichos puntos.

Solución

1Encontrar los puntos

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación[pic 8], por tanto[pic 9].

Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente

[pic 10]

E igualamos a [pic 11] y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto

[pic 12]

Evaluamos la función original en este punto [pic 13]

[pic 14]

Entonces

[pic 15]

Recta tangente

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

3Recta normal

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

1. Dada la curva de ecuación [pic 23], halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje [pic 24] un ángulo de [pic 25].

Solución

Lo primero que debemos saber es que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje [pic 26]

Es decir [pic 27]

[pic 28]

La derivada de [pic 29] nos indica la pendiente de la recta tangente

[pic 30]

Como quiero que la recta tangente forme [pic 31] con el eje [pic 32], estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de [pic 33]

[pic 34]

Entonces,

[pic 35]

Despejamos

[pic 36]

[pic 37]

Al obtener el valor  de x hemos obtenido la abscisa. Para obtener el valor de la ordenada, evaluamos el punto [pic 38] en la función original

[pic 39]

Finalmente

[pic 40]

Teorema de Rolle y teoremas del valor medio

En este proceso, debemos determinar formalmente algunas cosas que ya son obvias para nosotros. Primero, si una función es diferenciable en un intervalo     (a, b), significa que, excepto por el hecho de que la función es continua allí, la curva o gráfica relacionada con la función es "suave" porque en la curva Solo hay una tangente en cualquier punto de la curva en todos los puntos. ¿Podemos explicarlo? La siguiente figura nos muestra la curva, la función, la curva no es diferenciable en un punto determinado del intervalo:[pic 41]

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