Cálculo Integral - Obtención de volumen de un sólido

Introducción:

El cálculo integral es muy común en la ingeniería, se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Existen 3 métodos para el cálculo de estos volúmenes y los explicaré a continuación:

• Discos: El Método de Discos en Cálculo Integral, cuando se hace girar la región de área que está debajo de una función alrededor del Eje X o algún otro eje, lo que se obtiene es un Sólido de Revolución. Este método lo usamos cuando tenemos 2 funciones a graficar y están nos forman un sólido hueco, al rotarlo sacamos un disco que tiene forma de anillo Este método está dado por la siguiente fórmula:

[pic 1]

• Washer (Arandelas): este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el sólido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Su fórmula está dada por:

[pic 2]

• Rebanadas: Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un círculo A= πr2 y el ancho será un Δx. Su fórmula es:

[pic 3]

Cada uno de estos métodos tiene sus condiciones especiales dado que no se aplican a todas las formas, como nos dimos cuenta, algunas sirven para figuras específicas.

Metodología:

Para la solución de este problema hemos de usar la técnica de las secciones transversales, puesto que la pieza que analizamos es un cilindro sólido de metal.

El procedimiento usando dicho método queda de la siguiente manera:

[pic 4]

Graficamos en 3 dimensiones la figura para dar un panorama más claro respecto a lo que se va a calcular. Como dijimos previamente, la formula que usamos es la de rebanadas, en la cual se secciona por partes, y en esas partes calculamos las áreas individuales, fue sencilla su aplicación puesto que es una figura uniforme (Fig.1), así que procedí a tomar las medidas

que posee dicha pieza.

Tomando en cuenta que partiríamos del origen, la integral se simplifica pues la el limite inferior se anula, quedando únicamente el limite superior, al realizar la operación correspondiente. Lo que obtenemos aquí es la formula donde vamos a sustituir próximamente para obtener el volumen total del sólido.  

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8][pic 9]

Fig.1

Para la parte digital del proyecto usamos el software de Solidworks, los pasos que se siguieron son:

• Primer paso: Crear un croquis
• Segundo paso: Croquizar un rectángulo
• Tercer paso: Acotar de manera adecuada el rectángulo.
• Cuarto paso: Del croquis hecho, se realizar una operación de revolución de base, seleccionando el eje de las x para ejecutarlo.
• Quinto paso: Ya con la pieza bien realizada, se procede a darle un material, el cual es acero inoxidable (El mío estuvo en la intemperie por mucho tiempo, de ahí su mal estado), esto le da algunas características más realistas y ayudan al cálculo de su volumen.

Este es el resultado de la operación:

[pic 10]

Resultados y discusión:

Posterior al ejercicio realizado se generó un modelado de la pieza en digital usando el programa SolidWorks para comparar el volumen total y corroborar resultados.

Como podemos ver, varían unos decimales, pero el resultado es correcto.

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