CALCULO DIFERENCIAL , informe sobre limites y continuidad

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INFORME SOBRE LIMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

Objetivos:

Objetivos Generales:

Tener un concepto previo del tema a tratar en clase.

Objetivos Específicos:

• Interpretar y analizar el concepto de Limite de una Función.

• Reconocer y saber aplicar como calcular límites al infinito.

• Interpretar y analizar el concepto de continuidad.

• Reconocer y lograr diferenciar los diferentes tipos de discontinuidad (Al infinito, Removible y de Salto).

• Interpretar y analizar el concepto de Derrivadas.

Palabras claves:

• Aproximación.

• Existencia.

• Denominador.

• Numerador.

• Continua.

• Valores.

• Infinito.

• Definido.

• Asíntotas.

DEFINICION DE LIMITE

Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a (a) es L, si para valores x cercanos a (a) se tiene que f(x) tiene valores cercanos a L. Lo anterior será notado como:

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CALCULAR LIMITES AL INFINITO

Para  hallar un límite en el infinito se debe dividir cada uno de los términos de la función por el término de mayor potencia y utilizar el [pic 3]límite siempre y cuando esté Definido.

Ejemplo.

Hallarlas asíntotas de la función: [pic 4]

  Para hallar las asíntotas verticales debemos analizar los límites en los puntos en que La función tiene denominador cero. En este caso solo es un valor y es -3. Veamos los límites:

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Como los límites para este punto tienden infinito, entonces x= -3 es una asíntota vertical.

Para las asíntotas horizontales debemos analizar la función cuando x tiende a infinito.

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Tenemos entonces que y = 2 es una asíntota horizontal.

DEFINICION DE CONTINUIDAD

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa lo contrario, que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Informalmente, una función continua de ℝ en ℝ es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

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Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

• La función existe en a.
• Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
• El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

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TIPOS DE DISCONTINUIDAD

Las discontinuidades se clasifican en:

Discontinuidad evitable o Removible.

En este caso no se cumple la condición (a) de la definición de continuidad, es decir existe el límite finito L de f(x) en x = a pero f(x) no está definida en a. La función puede modificarse adoptando como f(a) el valor L correspondiente, convirtiéndose así en una función continua en x = a.
También se clasifica como evitable la discontinuidad en la que no se cumple la condición (c) de la definición de continuidad, es decir, existen f(a) y [pic 9], pero no coinciden. En este caso, puede salvarse la discontinuidad tomando como valor de la función el resultado del límite.

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