CALCULO INTEGRAL SERIES

INDICE

Pag.

INTRODUCCION…………………………………………………………………….……3

4.1 DEFINICION DE SERIE……………………………………………………….….…7

4.1.1 FINITO……………………………………………………………………………10

4.1.2 INFINITO……………………………………………………………………..…10

4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA………………………………………14

4.3 SERIES DE POTENCIAS……………………………………………………..…19

4.4 RADIO DE CONVERGENCIA…………………………………………………..…22

4.5 SERIE DE TAYLOR…………………………………………………………..…25

4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONES………………………………..…………29

4.7 CALCULO DE INTEGRALES……………………………………………..……32

CONCLUSION…………………………………………………………………..………34

CUESTIONARIO……………………………………………………………..………….35

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………….39

INTRODUCCION

En esta unidad podremos aprender sobre la sucesión y series del cálculo integral sus diferentes aplicaciones de función respectivamente.

Como podremos recordar en las unidades anteriores incluso desde límites nos ayudaran a facilitar la comprensión de los temas que veremos en esta unidad.

Las series tienen unas características fundamentales con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Apegándonos un poco al tema, se nos podrán presentar las series finitas que estas se han estudiado hasta el momento han consistido solo de los términos constantes, ahora se trata un tipo importante de series de variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como una generalización de una función polinomial. En las secciones restantes de esta unidad se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular valores de funciones.

Lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera.

Para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesión de diversas entidades matemáticas.

Una parte importante del estudio de cálculo trata sobre la representación de funciones, como “suma finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de una conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar acabo esto se estudiara un proceso de limite en el que se consideran sucesiones.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias

• La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término que resultan operaciones triviales.

• Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de la función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

SERIE

Definición de serie

4.1 Definición de serie

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiene alguno, se define como

S = lim S n .

n→∞

Se representa una serie con términos an

Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación:

El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.

Termino de una sucesión: S: NR

Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera, para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un término inicial multiplicado por una cantidad constante, p. ej.

a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1 + ⋅ ⋅ ⋅. Eneste caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha serie infinita.

En general una serie infinita significa una expresión de la forma

a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅

Donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula. Los tres puntos significan que la serie nunca termina. Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la formación e la serie, el término general o término n-ésimo deberá expresarse, p. ej.

12 + 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅

x − x 2 + x

2

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

(− 1)n−1 x n

(n − 1)!

+ ⋅ ⋅ ⋅

También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las series anteriores, la forma abreviada será

∞

∑

n=1

∞

∑ n 2

n =1

(− 1)n−1 x n

(n − 1)! .

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,

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