Calculo diferencial UnADM

ACTIVIDAD 1

Razón de cambio

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida o magnitud en la cual una variable se transforma con relación a otra; o lo que es lo mismo, la razón de cambio es una medida que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. Si dos variables no están relacionadas, la razón de cambio será igual a cero.

La idea detrás de la razón de cambio, tuvo sus orígenes en la física, especialmente en el área de la mecánica que es la que estudia la velocidad y la aceleración de una partícula en una unidad de tiempo. La velocidad se va a entender entonces a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo y la aceleración es la variación de la velocidad con respecto al tiempo; la primera se interpreta como la primera derivada de la posición y la segunda como la derivada de la velocidad, es decir, la segunda derivada de la posición.

Método de Newton

El método de Newton se utiliza para encontrar ceros de una función, este método es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real, resultando mucho más eficiente que el método de las bisecciones.

El método presenta un procedimiento sencillo y exacto para encontrar las raíces de las funciones a partir de los coeficientes de la ecuación.

Como sabemos, puede resultar bastante fácil encontrar los ceros de  sin embargo, si queremos encontrar los ceros de una función no algebraica como , no tenemos una fórmula disponible para encontrar los ceros. [pic 1][pic 2]

En general, para encontrar soluciones aproximadas a , hacemos de primer momento una conjetura inicial de la ubicación de la solución, la cual se denota por x0. La ecuación de la recta tangente a  en  está dada por la aproximación lineal en : [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Denotamos la intersección con el eje x de la recta tangente como  y tenemos: [pic 8]

[pic 9]

Resolviendo para  se obtiene: [pic 10]

[pic 11]

Podemos repetir el proceso con  y así sucesivamente para poder obtener una aproximación mejorada adicional. De esta manera, generamos una secuencia de aproximaciones sucesivas definidas por: [pic 12]

, para n= 0, 1, 2, 3,….[pic 13]

A este proceso se le conoce como el método de Newton-Raphson.

Poner por lo menos un ejemplo en donde se aplica la razón de cambio en la vida cotidiana.

A partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos en un sinnúmero de áreas. Por ejemplo, podemos utilizar la razón de cambio para calcular la velocidad de propagación del COVID-19 en la Ciudad de México, tomando como datos la cantidad de personas que contrajeron el virus en x días.

...