Calculo integral. Propiedad de las integrales

Calculo Integral

Introducción

El Cálculo integral es una de las partes que forman al cálculo infinitesimal, donde fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Leibniz y por Isaac Barrow. Donde los trabajos de este último y con los aportes de newton y Leibniz, generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La idea básica del cálculo integral, es la de encontrar el área debajo de una curva, donde para encontrar dicha curva se divide un número infinito de rectángulos con bases infinitesimales muy pequeñas y sumar sus áreas. Por ello esta parte de las matemáticas es muy útil para trabajar con cosas infinitas.

Calculo Integral

El cálculo Integral, es una de las ramas de las matemáticas que se encarga del estudio de las integrales y las anti derivada, que se emplean más para los cálculos realizados a las áreas, volúmenes y sólidos de revolución. El cálculo Integral, fue utilizado principalmente por Aristóteles, Descartes, newton y Barrow, pero fue con las aportaciones de newton, que se creó el teorema del Cálculo Integral, que dice que la integración y la derivación son procesos inversos.

Estos procesos permiten restituir una función que ha sido previamente derivada, es decir, la operación opuesta de la derivada, la cual es conocida como la anti-derivada. Por conveniencia se introduce una notación para la anti-derivada de una función, Si , la cual se representa como:[pic 1]

[pic 2]

Donde el símbolo a la izquierda de f(x), representa a la integral y a la notación , se le conoce como una integral definida de f(x) con respecto a “x”. La “C”, se le conoce como la constante de integración, la cual surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx, denota la diferenciación con respecto a la variable “x”, lo cual señala cual es la variable derivada.[pic 3]

[pic 4]

Se lee como: integral de f(x) del diferencial de “x”.

Propiedad de las integrales

Las propiedades que cumplen las integrales son las siguientes:

• Integral de la suma.[pic 5]
• Integral de la  del producto por una constante .[pic 6]
• Integral de la resta.[pic 7]

Hay que tener en cuenta que en las integrales no existe una propiedad definida para el producto o división entre dos funciones, así que si bien se puedes separar las sumas o restas, para la multiplicación y división es imposible.

Integrales inmediatas

Las integrales inmediatas, son las integrales que no requieren aplicar ningún método de integración porque son muy sencillas. Dichas integrales se obtienen directamente a partir de la tabla de derivadas. Lo que se busca es conseguir en el integrando, una función multiplicada por su derivada.

Ejemplo

[pic 8]

[pic 9]

Tabla de integrales

Al igual que las derivadas, las integrales, cuentan con una serie de fórmulas que se utilizan para resolver las integrales, dichas formulas son la inversa de las derivadas las cuales las más utilizadas son las siguientes:

[pic 10]

Estas integrales que se consideran inmediatas, son básicas y sencillas de resolver, por ello se suele hacer uso de la tabla de integrales, para poder resolver las ecuaciones más rápido y eficientemente. También hay que tener en cuenta, que muchas veces cuando resuelva integrales, se busca la f(x), sea lo más parecida posible a las derivadas inmediatas, pero esto se logra es utilizando los distintos métodos previos aprendidos en matemáticas como las identidades trigonométricas.

Integración por Partes

La integración por es uno de los métodos para resolver integrales, cuando el integrando está formado por un producto o una división que se puede tratar como un producto, donde se recomienda utilizar este método que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

[pic 11]

Donde el método consiste en:

• El integrado debe ser un producto de dos factores.
• Uno de los factores será “u” y el otro será “dv”.
• Se calcula “du” derivando “u” y se calcula “v” integrando “dv”.
• Luego se aplica la formula.

Ejemplo: resolver la siguiente integración. [pic 12]

Si decimos que , entonces [pic 13][pic 14]

Si , entonces  [pic 15][pic 16][pic 17]

Ahora se sustituye en la fórmula de integración por partes.

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