Calculo integral “Solución de problemas de aproximación usando diferenciales”

PREFECO “Melchor Ocampo”

Calculo integral

“Solución de problemas de

aproximación usando diferenciales”

Prof. José Antonio Hernández Anguiano

INTEGRANTES:

Diana Nataly Velázquez Téllez

Rubén Aguilar Arciga

603-3

                                                        [pic 1]

La diferencial de una función en un punto es el incremento de la  ordenada de la tangente en ese punto. Por lo tanto la variación de una función se puede expresar como el producto de su derivada en el punto por variación de su variable independiente en dicho punto.

Si una función y = f(x) admite derivada finita en un punto su incremento puede expresarse como ∆y = f ’(x) ∆x + ε ∆x

Siendo ε un infinitésimo para ∆x → 0. Al primer término se lo llama “diferencial  y”, cuya notación es dy = f ‘(x) ∆x.

Como el incremento de la variable independiente es igual a su diferencial tenemos que ∆x = dx, entonces dy = f ‘(x) dx

Observando la figura vemos que ∆y – dy = µ = ε∆x = εdx → 0   “más rápido” que dy en la medida que ∆x = dx → 0 (por ser un infinitésimo de orden superior)

Interpretación geométrica

En el concepto geométrico podemos definir al diferencial como la elevación o aumento de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial. Pero la diferencial de la variable dependiente no es igual a su incremento. La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial. 

La elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento  que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la fórmulas matemáticas están definidos respectivamente por  y.         [pic 2]

Aproximaciones por diferenciales

Si dx=∆x es relativamente pequeño comparado con x, dy es una buena aproximación de ∆y.

Las diferenciales se utilizan en gran manera en el día a día para resolver problemas de cálculo complejos. Se utilizan en el campo de la investigación, física, matemáticas, e incluso la química. Algunas áreas muy importantes donde se realiza el uso de las ecuaciones diferenciales son:

• Cálculo de Máximos y Mínimos: Las aplicaciones de negocios requieren del cálculo de los valores máximos y mínimos de una función para incrementar su producto y por tanto el porcentaje de ganancia. El uso de la diferenciación para este propósito obtiene resultados inmediatos y con exactitud. Las aplicaciones de negocio, las funciones de crecimiento anual, los porcentajes de beneficio, etc. están formulados para llegar a los resultados.
• Cálculo de la Tasa de Variación de una Reacción Química: Una reacción química consiste en la transformación de uno de los componentes a algún otro componente. La velocidad a la que se lleva a cabo todo el proceso se denomina tasa de reacción química, la cual es directamente proporcional al cuadrado de la cantidad total del compuesto que se transforma.
• Los fisicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de ∆y de un modo muy libre, sucede en la practica al estimar errores propagados a partir de los cometidos por los aparatos de medida.
• El Uso del cálculo Diferencial en el Censo: El Censo es un cálculo muy importante iniciado por los gobiernos de algunos países. Haciendo el uso de la ecuación diferencial ha logrado que el cálculo completo sea mucho más fácil que antes.
• Algunas de las aplicaciones notables que implican el uso de aplicaciones diferenciales son la conciencia publicitaria, los cálculos de una mezcla de compuestos químicos, el cálculo de selección de híbridos, etc.

En casi todas estas aplicaciones no hay una expresión determinada de antemano por lo que podemos calcular la derivada convenientemente. En cambio la mayoría de las aplicaciones envuelven la formación de la expresión, que es una función de determinados valores paramétricos.

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