Investigacion Calculo Integral Y Diferencial

1. Definición de función matemática: Dominio y contra dominio. Funciones Inyectiva, Biyectiva y Suprayectiva.

La función matemática, es una cantidad que depende de la determinación de otra, tenemos una definición más técnica la cual transcribo a continuación:

“Una función f(x) es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x del dominio con un solo elemento f(x) de un segundo conjunto (con uno y sólo uno) llamado rango o contra dominio de la función, es decir, si x1 es diferente de x2 entonces f(x1) es diferente de f(x2).”

Ante esto tenemos también que una función tiene tres partes, a saber:

Un conjunto A que se llama dominio de la función.

Un conjunto B que es denominado contra dominio de la función.

Una regla de correspondencia f que asocia todo elemento de A y uno y solo uno de los del conjunto B.

En este caso la regla debe contener propiedades, las cuales se mencionan a continuación:

Ningún elemento del dominio puede quedar sin elemento asociado en el contra dominio.

Ningún elemento del dominio o codominio. Esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo tiempo algún elemento asociado en el contra dominio.

Una función Inyectiva es aquella en que cada elemento B tiene como mucho uno de A al que le corresponde, esto sin embargo no dice que todos los elementos de B tengan alguno en A. La defunción técnica es: “Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.”

Una función Biyectiva es inyectiva y sobreyectiva a la vez. En este caso existe una correspondencia perfecta uno a uno entre los elementos de ambos conjuntos. La definición técnica es: “Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y.”

Una función Sobreyectiva es cuando cada elemento de de B tiene por lo menos de A (a lo mejor más de uno). La definición técnica es: “Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.”

2. Principales tipos de funciones, en todos los casos considere para el reporte la definición, su expresión matemática, descripción de sus principales parámetros y su representación geométrica.

a) Función lineal.

Definición.

Es aquella cuyo dominio son todos los números reales, en donde los codominios son también los números reales, la expresión analítica de estos es un polinomio de primer grado.

La definición técnica es: “f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal, f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b”.

Expresión Matemática.

Ax + By + C = 0 con A ≠ 0 y B ≠ 0

Descripción de sus principales parámetros.

El término independiente (b) define la intersección de la misma representación gráfica con respecto al eje “Y” como en la imagen superior puede observarse, por tanto (la pendiente y dicho término independiente) definen aspectos dentro del marco de referencia de la misma función.

Representación Geométrica.

b) Función cuadrática y cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Definición.

Una función cuadrática es la que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola.

Las cónicas son el lugar geométrico de todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad métrica.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que están a una distancia

prefijada de un punto fijo.

Dados dos puntos F1 y F2 (iguales o distintos) y una constante 2a (mayor que la distancia entre los focos), se llama elipse de focos F1 y F2 y constante 2a al lugar geométrico de los puntos, P, cuya suma de distancias a F1 y F2 es 2a,

La parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0).

Expresión Matemática.

Función cuadrática

‘y=ax2+bx+c

Cónicas:

Circunferencia

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Elipse

(x2/a2) + (y2/b2) = 1

Parábola

‘Ax2+bxy+cy2+ey+f=0

Hipérbola

Descripción de sus principales parámetros.

Función cuadrática

a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. ‘en donde a, b y c son números

Cónicas:

Circunferencia

Donde A, B, C, ... son números reales conocidos, se llamará la ecuación general de segundo grado en las variables x e y.

Elipse

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario

Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores

Son los segmentos

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