Capítulo 4. Estadística inferencial: Estimación

Capítulo 4. Estadística inferencial: Estimación

4.1 Muestreo

La estadística inferencial es uno de los aspectos más importantes y cruciales de el proceso de toma de decisiones en economía, negocios y ciencia. La estadística inferencial se refiere a la estimación y prueba de hipótesis (Capítulo 5). La estimación es el proceso de inferir o estimar un parámetro de población (como su media o desviación estándar) de la estadística correspondiente a una muestra extraída de la población.

Para ser válida, la estimación (y prueba de hipótesis) debe basarse de una muestra representativa. Esta puede ser obtenida por un muestreo aleatorio, por lo que cada miembro de la población tiene la misma oportunidad de ser incluido en la muestra.

EJEMPLO 1. Se puede obtener una muestra aleatoria de 5 de los 80 empleados de una planta, registrando el nombre de cada empleado en un trozo de papel, mezclamos los trozos de papel completamente y luego escogemos cinco al azar. Un método menos riguroso es utilizar una tabla de números aleatorios (Apéndice 4). Para hacer esto, primero asignamos a cada empleado un número del 1 al 80. Luego, obtenemos al azar (Por ejemplo, nos ubicamos desde la tercera columna y undécima fila), podemos leer 5 números (como pares) ya sea horizontal o vertical (Eliminamos aquellos que excedan 80). Por ejemplo, leemos verticalmente 13, 54, 19, 59 y 71.

4.2 Distribución muestral de la media

Si tomamos muestras aleatorias repetidas de una población y medimos la media de cada muestra, descubriremos que la mayoría de estas medias muestrales, , difieren entre sí. La distribución de probabilidad de estas medias muestrales es llamada distribución muestral de la media. Sin embargo, la distribución muestral de la media tiene una media dada por el símbolo  y una desviación o error estándar, .[pic 1][pic 2][pic 3]

Dos teoremas importantes relacionan la distribución muestral de la media con la población parental.

1. Si tomamos muestras aleatorias repetidas de tamaño  de una población.[pic 4]

y

La ecuación 4.2b es utilizada para poblaciones finitas de tamaño  cuando  [Problema 4.5(b)][pic 8][pic 9]

1. A medida que aumentan el tamaño de las muestras (por ejemplo, cuando ), la distribución de la muestra de la media se acerca a la distribución normal independientemente de la forma de la población parental. La aproximación es suficientemente buena para , Este es el teorema del límite central.[pic 10][pic 11]

Podemos encontrar la probabilidad de que una muestra aleatoria tenga una media  en un intervalo calculando los valores  para el intervalo, donde[pic 12][pic 13]

Posteriormente, buscamos los valores en la tabla Z (Apéndice 3), como se explica en la Sección 3.5.

EJEMPLO 2. En la figura 4-1, la media de la distribución muestral de la media  es igual a la media de la población parental  independientemente del tamaño  de las muestras. Sin embargo, mientras mayor sea , menor es la desviación o error estándar de la media . Si la población parental es normal, las distribuciones muestrales también están normalmente distribuidas, incluso las pequeñas muestras. Con base en el teorema del límite central, incluso si la población parental no está normalmente distribuida, la distribución muestral de la media es aproximadamente normal cuando .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

EJEMPLO 3. Suponga que la población está compuesta por 900 elementos con una media de 20 unidades y una desviación estándar de 12. La media y desviación estándar de la distribución muestral de la media para una muestra de 36 elementos es

[pic 22]

[pic 23]

Si  hubiera sido 64 en lugar de 36 (de modo que ), entonces[pic 24][pic 25]

[pic 26]

 en lugar de , sin el factor de corrección finito.[pic 27]

EJEMPLO 4. La probabilidad que la media de una muestra aleatoria  de 36 elementos de la población en el ejemplo 3 se encuentre entre 18 y 24 unidades se calcula de la siguiente manera:[pic 28]

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