Centroides y Centros de gravedad

Fuerzas distribuidas:[pic 1]

 Centroides y Centros de gravedad

La acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá có mo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas.

El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

El centroide es un punto que define el centro geomé trico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente. El centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo novarían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones.

Para iniciar, considere una placa plana horizontal (Anexo 1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representan con  y   las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etc. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con AW1, AW2, . . ., Awn.Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos:(Anexo 2)[pic 2][pic 3]

para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales (Anexo 2). Se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye él tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:(Anexo 2).  En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud AW del peso de un elemento de la placa puede expresarse como:   donde [pic 4]

y = peso específico (peso por unidad de volumen) del material

 t = espesor de la placa

 ΔA = área del elemento

En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como W = ytA donde A es el área total de la placa. Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se debe expresar el peso específico y en lb/ftᵌ, el espesor t en pies y las áreas ΔA y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que ΔW y W estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe expresar a y en N/mᵌ * at en metros y a las áreas ΔA y A en metros cuadrados; entonces, los pesos ΔW y W estarán expresados en newtons.1 Si se sustituye a ΔW y a W en las ecuaciones de momento y se divide a todos los términos entre yt, se obtiene:(Anexo 2).Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite(Anexo 2). Estas ecuaciones definen las coordenadas x y y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x y y también se conoce como el centroide C del área A de la placa.

En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud AW del peso de un elemento de alambre puede expresarse como:[pic 5]

donde y = peso específico del material

 a = área de la sección transversal del alambre

ΔL = longitud del elemento (Anexo 3 y 4)

La integral  en las ecuaciones de la sección anterior se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy. En forma similar, la integral  define el prim er momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx. (Anexo 2)[pic 6][pic 7]

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un eje BB' si para todo punto P del área existe un punto P' de esa misma área tal que la línea PP' sea perpendicular a BB' y dicha línea está dividida en dos partes iguales por el eje en cuestión (Anexo 5). Se dice (pie una lí nea L es simétrica con respecto a un eje BB' si satisface condiciones similares. Cuando un área A o una línea L posee un eje de simetría BB ’, su primer momento con respecto a BB' es igual a cero y su centroide está localizado sobre dicho eje. Por ejemplo, en el caso del área A de la figura (Anexo 6) , la cual es simétrica con respecto al eje y, se observa que para cada elemento de área dA de abscisa x existe un elemento de área dA' que tiene la misma superficie y cuya abscisa es — x.

Si un área o una línea posee dos ejes de simetría, su centroide C debe estar localizado en la intersección de esos dos ejes (Anexo 7). Esta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas corno círculos, elipses, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras simétricas, así como el centroide de líneas que tienen la forma de la circunferencia de un círculo, el perímetro de un cuadrado, entre otros.

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un centro O si para cada elemento de área dA de coordenadas x y y existe un elemento de área dA' de igual superficie con coordenadas — x y —y (Anexo 8). Entonces, se concluye que ambas integrales en las ecuaciones son iguales a cero y que Qx = Qy = 0. También, a partir de las ecuaciones, se concluye que x = y = 0, esto es, que el centroide del área coincide con su centro de simetríaO. En forma análoga, si una lí nea posee un centro de simetría O, el centroide de la línea coincidirá con el centro O.  (Anexo 20)

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