Cinética del cuerpo rígido

        Tema I.- Cinética del cuerpo rígido. ( Movimiento plano general ). Método del trabajo y la energía.

        Introducción.- Con el objeto de aplicar los principios del trabajo y la energía al análisis del movimiento de un cuerpo rígido, nuevamente supondremos que el cuerpo rígido está formado por un gran número n de partículas de masa   . Recordando que

                                 ........................................  ( 12 )

en donde         T1, T2 =  valores inicial y final de la energía cinética de las partículas que                                 forman el cuerpo rígido

                  =  trabajo realizado por todas las fuerzas externas que actúan sobre                               las distintas partículas del cuerpo ( trabajo de fuerzas internas se                             anulan )

                        La energía cinética total

                                          ..........................  ( 13 )

        Determinación del trabajo efectuado por un par de fuerzas. Sabemos que el trabajo realizado por una fuerza F durante un desplazamiento de su punto de aplicación de A1 a A2 es

                                   ................................  ( 14 )

o bien

                                ...................  ( 15 )

en la que F es la magnitud de la fuerza,  el ángulo que forma con la dirección de movimiento de su punto de aplicación A y s la variable de integración que mide la distancia recorrida por A a lo largo de su trayectoria.

        Considerar las dos fuerzas F  y -F que forman un par de momento M de la fig. 12 que actúan sobre un cuerpo rígido.

                        [pic 1]

                Figura 12

        Cualquier pequeño desplazamiento del cuerpo rígido que lleve a A y B a A’ y B’ respectivamente, puede dividirse en dos partes: una en la que los puntos A y B experimentan desplazamientos iguales a  y la otra en la cual A’ permanece fijo mientras que B’ se mueve a B’’ mediante un desplazamiento  de magnitud  . En la primera parte del movimiento, el trabajo de F es igual en magnitud y de signo opuesto al trabajo de -F y su suma es cero. En la segunda parte del movimiento, sólo efectúa trabajo la fuerza F y su magnitud es  . Pero el producto Fr es igual a la magnitud M del momento del par. Por consiguiente, el trabajo de un par con momento M que actúa sobre un cuerpo rígido es

                                    ..........................................  ( 16 )

en la cual  es el ángulo pequeño, expresado en radianes, que gira al cuerpo. Así el trabajo del par durante una rotación finita del cuerpo se obtiene de

                                   ...................................  ( 17 )

Cuando el momento M del par es constante, la fórmula ( 17) se reduce a

                                    .............................  ( 18 )

        Determinación de la energía cinética de un cuerpo rígido. Considérese un cuerpo rígido de masa m en movimiento plano. Si se expresa la velocidad absoluta vi de cada partícula Pi del cuerpo como la suma de la velocidad  del centro de masa G del cuerpo y de la velocidad  de la partícula respecto a un sistema de referencia Gx’y’ fijo a G y de orientación fija ( fig.13 ), puede escribirse la energía cinética del sistema de partículas que forman al cuerpo rígido como

                                  ..............  ( 19 )

                [pic 2]

                                Figura 13

reduciendo conceptos de la fórmula anterior finalmente nos queda que

                                  ..............................( 20 )

        Notamos que el caso particular de un cuerpo en translación  , la expresión se reduce a , mientras que el caso de una rotación centroidal tipo (  ), se reduce a .

        Rotación excentroidal o no centroidal.- En la fig. 14 es un cuerpo rígido en rotación excentroidal y podemos calcular su energía cinética con

                                  ............................................( 21 )

                                [pic 3]

                                Figura 14

donde  representa el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje fijo que pasa por O.

        Repaso del cálculo del trabajo de diferentes fuerzas conservativas.

        Sistemas de cuerpos rígidos.- Cuando en un problema participan varios cuerpos rígidos, cada cuerpo rígido puede considerarse por separado y el principio del trabajo y la energía se aplica a cada cuerpo. Al sumar las energías cinéticas de todas las partículas y considerando el trabajo de todas las fuerzas presentes, podemos escribir también la ecuación del trabajo y la energía del sistema completo. Tenemos

                                  .........................................( 22 )

 en la que T representa la suma aritmética de las energías cinéticas de los cuerpos rígidos que forman el sistema.

        El método del trabajo y la energía es de particular utilidad en la solución de problemas que contienen miembros conectados por pasadores, o bloques y poleas conectadas por cuerpos inextensibles, o engranajes encastrados.

        Conservación de la energía.-  El trabajo de las fuerzas conservativas, como el peso de un cuerpo o la fuerza que ejerce un resorte, puede ser expresado como un cambio en la energía potencial. Cuando un cuerpo rígido o un sistema del cuerpos rígidos se mueve bajo la acción de fueras conservativa, el principio del trabajo y la energía puede expresarse como

                                  ......................................( 23 )

La fórmula 23 indica que la suma de la energía cinética y la energía potencial del sistema permanece constante. Debe notarse que en el caso de movimientos de un cuerpo rígido en un plano, la energía cinética del cuerpo debe incluir tanto el término de traslación  como el término rotacional  .

Problema de aplicación.- Consideremos una varilla AB de longitud l y masa m, cuyos extremos están unidos a bloques de masa despreciable que se deslizan a lo largo de guías vertical y horizontal. Suponemos que la barra se suelta sin velocidad inicial desde una posición horizontal ( ver fig.15a ) y deseamos determinar su velocidad angular después de que ha girado un ángulo  ( fig 15b ).

        [pic 4]

        Figura 15

        Como la velocidad inicial es cero, tenemos que . midiendo la energía potencial desde el nivel de la guía horizontal, escribimos . Después de que la barra a girado un ángulo , el centro de gravedad G de la barra está a una distancia   bajo el nivel de referencia y tenemos

                        [pic 5]

        En esta posición el centro instantáneo  de  la  barra  se  encuentra en C y que      CG = ½ L, escribimos  y obtenemos

                [pic 6]  =    [pic 7]   

                                        =[pic 8]                                                        

Al aplicar el principio de conservación de la energía, escribimos

                        0 [pic 9]        [pic 10]-                 

        Potencia.- La potencia es la rapidez en el tiempo con la que se realiza un trabajo. En el caso de un cuerpo sobre el cual actúa una fuerza F y que se mueve con una velocidad v, la potencia es

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