Coeficientes De Fourier

COEFICIENTES DE FOURIER

En muchos problemas de física las ecuaciones que los describen admiten soluciones elementales en forma de senos y cosenos (vibraciones mecánicas, respuesta de un circuito eléctrico, difracción de la luz…), de manera que si somos capaces de representar una función arbitraria como una suma de funciones trigonométricas resulta fácil expresar la solución de estos problemas frente a una “excitación” arbitraria.

Consideremos una cierta función real de variable real, “f(x)”, definida en el intervalo [-π, π]. Supongamos que esta función se puede expandir como una suma de funciones trigonométricas:

f(x) = A0 / 2 + A1 Cosx + B1 Senx + A2 Cos(2 x) + B2 Sen(2 x) + …

Se nos plantea el problema de encontrar los coeficientes “An” y “Bn” que hacen que se cumpla la igualdad anterior en el intervalo [-π, π]. Supondremos que esta serie es uniformemente convergente para poder integrar término a término:

∫(f(x) dx) = (A0 / 2) ∫(dx) + ∑[An ∫(Cos(n x) dx) + Bn ∫(Sen(n x) dx]).

Observemos que, con nuestros criterios:

• ∫(dx) = 2 π.

• ∫(Cos(n x) dx) = 0.

• ∫(Sen(n x) dx) = 0.

De modo que obtenemos:

• A0 π = ∫(f(x) dx).

• A0 = ∫(f(x) dx) / π.

Es decir, “A0″ es el valor medio de la función “f(x)” en el intervalo [-π, π].

Para calcular “An” multiplicaremos nuestra serie por “Cos(m x)”, de modo que:

f(x) Cos(m x) = A0 Cos(m x) / 2 + ∑[An Cos(n x) Cos(m x) + Bn Sen(n x) Cos(m x)].

Ya hemos visto que:

∫(Cos(n x) dx) = 0.

Por otra parte tenemos que:

Cos(n x) Cos(m x) = (Cos((n + m) x) + Cos((n – m) x)) / 2.

Sen(n x) Cos(m x) = (Sen((n + m) x) + Sen((n – m) x)) / 2.

Sen(n x) Sen(m x) = (Cos((n – m) x) – Cos((n + m) x)) / 2.

Por lo tanto:

∫(Cos(n x) Cos(m x) dx) = [∫(Cos((n + m) x) dx) + ∫(Cos((n – m) x) dx)] / 2.

donde “n” y “m” son números naturales. Pero:

∫(Cos((n + m) x) dx) = 0.

∫(Cos((m – n) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.

∫(Cos((n – m) x) dx) = 2 π, si “m = n”.

Resumiendo:

∫(Cos(n x) Cos(m x) dx) = 0, si “m ≠ n”, e = π, si “m = n”.

Para la otra integral tenemos:

∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = [∫(Sen((n + m) x) dx) + ∫(Sen((n – m) x) dx)] / 2.

∫(Sen((n + m) x) dx) = 0.

∫(Sen((n – m) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.

Cuando “m = n” tenemos directamente:

Sen((n – m) x) = 0.

Resumiendo entonces:

∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = 0.

con “n” y “m” números naturales.

∫(f(x) Cos(m x) dx) = π An.

An = ∫(f(x) Cos(m x) dx) / π.

n ≥ 0.

...