Conceptos de probabilidad

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Módulo 1. Pensamiento matemático y social

Unidad 1. Probabilidad

Conceptos básicos

Probabilidad: La probabilidad es una medida numérica que indica la posibilidad de que ocurra un evento específico dentro de un conjunto de eventos posibles. La probabilidad se expresa como un número entre 0 y 1, donde 0 significa que el evento es imposible y 1 significa que el evento es seguro. Los eventos con probabilidades intermedias indican que el evento es posible, pero no seguro.

Experimento aleatorio: es un proceso en el que se observan o miden los resultados de un evento incierto. El término "aleatorio" se refiere a que el resultado no puede ser predecido con certeza antes de llevar a cabo el experimento. Por ejemplo, lanzar una moneda es un experimento aleatorio, ya que no se puede predecir con certeza si la moneda caerá con cara o con cruz. Los experimentos aleatorios son fundamentales en la estadística y en la teoría de la probabilidad para medir la incertidumbre en los resultados.

Experimento determinista: es un proceso en el que se conocen con certeza todas las condiciones iniciales y todas las leyes físicas que rigen el sistema, de manera que el resultado es predecible con certeza antes de llevar a cabo el experimento. Un ejemplo de experimento determinista es calcular la posición y velocidad de un planeta en un sistema solar dado tiempo y condiciones iniciales. Otro ejemplo es la caída libre de un objeto, siempre caerá con la misma aceleración debido a la gravedad, lo que nos permite predecir con certeza la posición y velocidad del objeto en cualquier momento. Es importante mencionar que, en la práctica la mayoría de los experimentos reales son en gran medida determinísticos debido a la imposibilidad de controlar todas las variables y condiciones iniciales con precisión suficiente.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cada uno de estos resultados se llama una muestra o un punto muestral. El espacio muestral se utiliza para definir eventos y calcular probabilidades. Por ejemplo, si lanzamos un dado, el espacio muestral sería {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ya que cualquiera de estos números es un resultado posible. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral, y su probabilidad se calcula como la fracción de puntos muestrales en el evento sobre el número total de puntos muestrales en el espacio muestral.[pic 2]

Evento discreto: es un evento que puede tener un número finito o infinito, pero contable, de posibles resultados. Los ejemplos comunes de eventos discretos incluyen lanzar un dado, lanzar una moneda, contar el número de personas en un grupo, etc. En estos casos, el espacio muestral es finito o contable, y se pueden listar todos los posibles resultados. La probabilidad de cada uno de los eventos discretos se puede calcular mediante la fracción entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un 6 al lanzar un dado es de 1/6, ya que solo hay un resultado favorable (6) entre los seis resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6).[pic 3]

Evento continuo: es un evento que tiene un número infinito de posibles resultados en un rango específico. Los ejemplos comunes de eventos continuos incluyen medir la altura de una persona, medir la velocidad de un automóvil, medir la temperatura, etc. En estos casos, el espacio muestral es continuo y no se puede listar todos los posibles resultados. La probabilidad de un evento continuo se expresa como una función de densidad de probabilidad (PDF, por sus siglas en inglés), que describe la probabilidad de que el evento ocurra en un rango específico de valores. La integral de la PDF en un rango específico es la probabilidad de que el evento ocurra en ese rango. Por ejemplo, la probabilidad de que la altura de una persona sea entre 1.6 y 1.7 metros se calcula como la integral de la PDF de altura entre 1.6 y 1.7 metros. Es importante mencionar que para eventos continuos, no se puede hablar de probabilidad de un punto específico, sino que se debe hablar de probabilidad de un intervalo.

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Evento simple: es un evento que consta de un solo resultado posible dentro del espacio muestral. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral que tiene un solo elemento. Por ejemplo, si lanzamos una moneda, los eventos simples serían "cara" o "cruz", ya que son los únicos resultados posibles. En el caso de eventos discretos, un evento simple se puede representar como un punto muestral individual en el espacio muestral. En el caso de eventos continuos, un evento simple se representa como un intervalo de longitud cero, es decir un punto específico en el espacio muestral. Es importante destacar que un evento simple es un caso especial de un evento, y se puede utilizar para construir eventos más complejos mediante operaciones como la unión, la intersección y la diferencia.

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Álgebra de conjuntos se utiliza para trabajar con eventos. Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos se pueden aplicar a eventos para definir nuevos eventos a partir de eventos existentes.

• La unión de dos eventos A y B, denotada como A U B, es el evento que ocurre si ocurre al menos uno de los dos eventos A o B.
• La intersección de dos eventos A y B, denotada como A ∩ B, es el evento que ocurre solo si ocurren ambos eventos A y B.
• La diferencia entre dos eventos A y B, denotada como A - B, es el evento que ocurre si ocurre el evento A pero no ocurre el evento B.

Además de estas operaciones básicas, también se utilizan otras operaciones como la negación de un evento A, denotada como A', que es el evento que ocurre si no ocurre el evento A, y la complementariedad de un evento A, denotada como A^c, es el evento complementario de A, es decir, el evento compuesto por todos los elementos del espacio muestral que no pertenecen al evento A.

Es importante mencionar que al trabajar con eventos, las operaciones de álgebra de conjuntos se deben realizar respetando las reglas de probabilidad, es decir, las probabilidades de los eventos deben ser mayores o iguales a cero y la probabilidad total del espacio muestral debe ser igual a 1.

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La probabilidad clásica, también conocida como probabilidad frecuentista, se basa en la idea de que la probabilidad de un evento es igual a la frecuencia relativa con la que ocurre ese evento en un gran número de repeticiones del experimento.

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