Cuadratura Gaussiana

1. Título: Cuadratura Gaussiana

1. Resumen (Abstract): Mediante el lenguaje de programación PHP y el IDE Netbeans, se desarrolló un aplicativo que calcula la integración definida de una expresión matemática mediante la Cuadratura Gaussiana y muestra el gráfico de la curva.

Se desarrolló mediante la aplicación de funciones que: calculan raíces como es el caso del método de la Bisección-Secante, se aplicó una función que determina el polinomio de LaGrange de grado n.

1. Palabras clave: Cuadratura, Gaussiana, Métodos, Numéricos, Integración, Polinomios, LaGrange, Raíces.

Capítulo 1:

1. Introducción:

Objetivo Principal:

El objetivo principal de la aplicación es realizar una aproximación bastante certera de la integración numérica mediante la Cuadratura Gaussiana.

Definiciones:

Cuadratura Gaussiana: Es uno de los métodos más eficientes para integración numérica, aproxima [pic 1] mediante la fórmula de la cuadratura [pic 2] donde Xi son la raíces del polinomio de LaGrange de grado n, y Wi son los pesos de la cuadratura que se calculan con la siguiente fórmula:

[pic 3]

Para calcular la aproximación, realizamos un cambio de variable [pic 4],  para así conseguir la siguiente fórmula:

[pic 5]

Polinomio de LaGrange: El polinomio de interpolación de LaGrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas.

Capitulo 2y3:

1. Fundamentos Teóricos

Los puntos que son necesarios topar para poder entender cómo se realizó el método de integración son:

1. Polinomio de LaGrange.

Llamadas así por el francés Adrein-Marie LaGrange quien obtuvo distintos aportes como:

• Estadística.
• Teoría de numeros.
• Álgebra abstracta.
• Análisis Matemático.

         Los polinomios de LaGrange son unos de los ejemplos más importantes

de los polinomios ortogonales, porque aparecen como soluciones en varios

problemas clásicos de la física, los polinomios de LaGrange conforman una base ortogonal de funciones definidas en el intervalo de [-1,1], estos polinomios vienen construidos a partir de la ecuación:

[pic 6]

Se toma P0(x) = 1. Luego, de aquí se obtiene que los primeros polinomios de LaGrange son:

P0(x) = 1.

P1(x) = x.

P2(x) = 1 2 (3x 2 − 1).

P3(x) = 1 2 (5x 3 − 3x).

P4(x) = 1 8 (35x 4 − 30x 2 + 3).

P5(x) = 1 8 (63x 5 − 70x 3 + 15x).

P6(x) = 1 16 (231x 6 − 315x 4 + 105x 2 − 5).

1. Metodo para encontrar la raíz de una función.

En este proyecto usamos el Método hibrido de Secante-Bisección, al ser la unión del método secante y del método de bisección, el encontrar las raices con este Metodo será mucho más rápido y más eficiente puesto que sus principales características son que siempre converge y que se puede buscar las raices en intervalos más pequeños.

Algoritmo para el método de Secante-Bisección.

(“Algoritmo dado en clases”)

• Defina el intervalo de búsqueda [ak, bk] inicialmente con k=0
• Calcule el punto ck con c_k=b_k-f(b_k) (b_(k-) a_k) / (f (b_k)-f(a_k)) Si |bk-ck| <= Ԑ y f(ck) <= Ԑ, donde Ԑ es una tolerancia establecida a priori, haga raíz=ck y salga del algoritmo
• Si (f(bk)*f(ck)) < 0 entonces haga ak+1=ck y bk+1=bk, caso contrario haga bk+1=ck y ak+1=ak Haga k=k+1
• vuelva al paso 2

1. Metodo para encontrar la derivada de una función.

Utilizamos el Metodo de diferencias centradas puesto que este método es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto.

1. Cuadratura Gaussiana.

El método de cuadratura de Gauss es un excelente método numérico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fáciles de implementar. Por otra parte, es una aplicación bastante interesante de los polinomios ortogonales.

También es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada así por Carl Friedrich Gauss. Es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1, …, n.

El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1]

Para todo esto necesitaremos un método que nos ayude hallar las rices de una función en nuestro caso Metodo Hibrido Secante/Bisección, para encontrar el peso del polinomio debemos tener la forma de calcular la derivada en nuestro trabajo usaremos Diferencias Centradas,

1. Simpson y trapecio.

Los métodos de Simpson y Trapecio son métodos de integración numérica y se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) está dada como un conjunto de valores tabulados.

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