Cuadratura Del Circulo

LA CUADRATURA DEL CIRCULO: UN PROBLEMA INSOLUBLE

PERO DIVERTIDO.

Aunque hace tiempo que se sabe que la cuadratura con regla y compás es imposible (de hecho se ha convertido en el paradigma de problema insoluble) el buscar soluciones aproximadas resulta ser un interesante desafío de geometría recreativa.

Parece que en otro (?) tiempo hubo personas que soñando con la indudable fama que les proporcionaría resolver este problema se ofuscaron peligrosamente en él. No se pretende aquí resucitar tan peligrosa enfermedad. Se trata solo de un juego que podría tener una cierta utilidad pedagógica. Y que, al menos hasta donde yo he explorado, requiere solo unos conocimientos mas bien elementales de geometría. (Poco mas que el teorema de Thales y, por supuesto el de Pitágoras)

Si se trata de explicar en que consiste realmente el problema, resulta altamente instructivo proponer una construcción

aproximada de la cuadratura del círculo de modo que se pueda experimentar con lápiz y papel en que consiste tal problema.

Una construcción geométrica aproximada de la cuadratura del círculo con regla y compás con tales fines "pedagógicos"

o simplemente recreativos debería cumplir los siguientes requisitos:

1) la aproximación de pi debería ser la mejor posible

2) el número de pasos debería ser el mínimo posible

3) la construcción debería poder hacerse siguiendo la lógica de cualquier problema: partir del dato ... para llegar a la

solución, en este caso partir del radio del círculo (el dato) para llegar al lado del cuadrado (la solución).

Por ejemplo (ver Fig. 1) partiendo del radio OF (dato) de la circunferencia a cuadrar se haya su mitad (punto A) y luego la mitad de esta, es decir la cuarta parte del radio, de modo que se obtenga un segmento igual a 5/4 del radio (segmento OB) y tomando como radio este segmento se traza una circunferencia con el mismo centro (O) de la circunferencia de partida: los puntos de corte de esta circunferencia con los ejes de coordenadas (C, D E y F) nos dan los cuatro vértices del cuadrado solución.

Fig. 1

Este ejemplo reúne las condiciones 2 y 3 pero el valor de pi utilizado es

que es obviamente muy pobre (aunque con cierto valor histórico pues el que parece ser que utilizaban los babilonios 2000 años AC).

(Nota: en los ejemplos se ha utilizado un radio elegido al azar en 30 unidades. Todos los dibujos son igualmente válidos con cualquier otra medida.)

En la tabla siguiente se recogen en orden de aproximación creciente algunas construcciones aproximadas

de la cuadratura del círculo:

Construcción (del lado del cuadrado problema) Valor de pi equivalente Error relativo (ppm) (1) Origen Notas

Efectuar sobre el diámetro dos divisiones por tres sucesivas para obtener los 8/9 de él (16/9)2 = 4(8/9)2 = 3.16049 ~ 6000 El papiro Rhind1650 AC

Hipotenusa del rectángulo isósceles de cateto = 5/4 R [(5raiz(2))/4]^2 = 3.125 ~ 5300 Babilonia 2000 AC

Ver el texto:"CUADRATURA DE KEOPS": 4/raiz(fi) = 3.1446 959 ¿Egipto? ¿utilizada en la pirámide de Keops?

Ver el texto:"CUADRATURA DE 22/7" 22/7 = 3.14286 402 ?? Arquímedes manejo esta aproximación como "cota superior"

Cuadratura C.Calvimontes(Ver:http://www.urbtecto.com/ Cuadratura inspirada en un dibujo de Leonardo (3.1411092...) 154 Leonardo estudió cuadraturas gráficas y mecánicas

Sumar al cuadrado (R fi)2 otro igual a 1/5 del anterior 6/5 fi^2 = 3.1416408 15 Hobson 1913 (2)

Hipotenusa del rectángulo de catetos 7/4 R y 9/32 R (56^2+9^2)/32^2 = 3.14160156 2.8 CMP Realizable en 13 pasos

Ver el texto 355/113= 3.14159292 0.085 Ramanujan 1913 (2), (3), (5) La fracción 355/113 ha sido atribuida a Tsu Ch'ung Chi

Ver descripción en el texto [(45raiz(2)(fi+1))/94]^2 = 3.141592685 0.01 Abelardo Falleti

? (9^2+19^2/22)^(1/4) = 3.14159265258 0.00032 Ramanujan 1914 (2) (4)

(1) partes por millón = ((va - pi)/pi)·1000000; va = valor aproximado de la construcción. Una forma mas gráfica de

visualizar la "ppm" es pensar en milímetros de error cometidos por cada Km

(2) citado en http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html

(3) publicado en el Journal of Indian Mathematical Society.

(4) Publicado en el Quarterly Journal of Mathematics XLV (1914), 350-374, ambas referencias tomadas del anterior link.

(5) La descrita aquí podría no ser la original de Ramanujan

fi = razón áurea = 1.618033989

? = No he podido consultar las citas originales. Se agradecerá quien pueda proporcionarlas

Aunque contiene algunos datos históricos la tabla anterior no refleja ni de lejos el enorme esfuerzo que a lo largo

de la historia se ha dedicado a tan peculiar problema. Para empezar no menciona a Apolonio y sus cónicas, al-Haytham,

Cusa, Bernoilli, Hobbes y mas, (ver la página matriz de Ramón). Además me hubiera gustado añadir alguna de las

cuadraturas de esos pobres olvidados amateurs que a mediados del siglo XVIII todavía intentaban convencer a las

academias de haber resuelto el problema.

Desde Arquímedes en adelante los matemáticos mas "conscientes" intentaron aportar "demostraciones" (la palabra clave

en matemáticas) de sus soluciones al problema. Pero al mismo tiempo muchos de ellos cayeron atrapados en algo que

los humanos digerimos muy mal: las coincidencias. Quizás el caso mas clamoroso de esa trampa lo protagonizó Hobbes,

quien por otro lado, no era precisamente un estúpido.

La tabla que presento contiene algunas notables coincidencias junta a alguna que no lo es tanto. Mi propuesta es jugar

con ellas. Descubrir lo que de divertido hay en "resolver" la cuadratura del círculo. Pero sin olvidar que estamos jugando,

que el problema ha quedado no-resuelto para siempre.

Es verdad que el sentido común nos lleva con frecuencia a acertar cuando nos decimos que "algo tendrá que haber detrás..."

porque si no "...es demasiada casualidad...". Pero si las matemáticas tiene algo de especial es precisamente el que tales

asertos de "sentido común" no suelen significar nada. Lo cual no impide que a muchas coincidencias se le busquen

significados ocultos, mágicos, ... y lo que Vds. quieran.

Hablando de coincidencias: mi favorita es sin

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