DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA

DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Objetivo. Al final de esta lección los estudiantes enumeran y comprenden cada uno de los pasos empleados en el método demostración por inducción matemática.

Desempeños a alcanzar. 

• Analiza los algoritmos empleados en un ejercicio resuelto, en que se emplea una demostración por inducción matemática, y elabora un guión con las estrategias de solución.
• Resuelve ejercicios propuestos sobre el tema de demostración por inducción matemática.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Divisible.

1. Que puede ser dividido

Ejemplos: “los átomos son divisibles; en las penas divisibles, el periodo legal de su duración se entiende distribuido en tres partes”

1. [número] Que al dividirse entre otro da como resultado un número entero.

Ejemplo: “un número es divisible por cinco cuando en cinco o cero”

Inducción.

1. Forma de razonamiento que consiste en establecer una ley o conclusión general a partir de la observación de hechos o casos particulares.

Ejemplo. “para los miembros del Círculo de Viena, las ciencias empíricas están basadas en la inducción”

1. Suposición o conclusión a la que se llega con formas de razonamiento.

Ejemplo. “es una inducción absolutamente sin fundamento”

Números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Se emplea la letra  para representar el conjunto de los números naturales.[pic 1]

Propiedades de los números naturales

El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico:

IN = {1, 2, 3, 4, 5,…}

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de adición y la multiplicación, ya que al operar cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.

Ejemplos:

2 + 6 = 8, el 8 pertenece al IN.

5 * 3 = 15, el 15 pertenece al IN

No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea con la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en el IN

Ejemplos:

3 – 5 = - 2,  -2 no es un elemento de IN

  Luego 0.25 no es un elemento de IN[pic 2]

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, e lo mismo que 6 + 3 = 9

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Ejemplos:

Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos el paréntesis:

7 + 6 = 5 + 8

13 = 13

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

Conmutatividad: a * b = b * a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 * 6 = 18, es lo mismo que 6 * 3 = 18

Asociatividad: (a * b)  c = a  (b * c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que (5 * 2) (6) = (5) (2 * 6) Resolvamos el paréntesis:

(10) (6) = (5) (12)

60 = 60

Elemento Neutro: a * 1 = a, con a perteneciente a IN

Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento.

Ejemplos:

5 * 1 = 5

9 * 1 = 9

Distributiva: (a) (b + c) = ab + ac

Ejemplo

Verifiquemos que (5) (3 + 6) = (5*3) + (5*6)

(5) (9) = (15) + (30)

45 = 45

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Sea P una propiedad definida en los números naturales (enteros positivos). Si 1 satisface es propiedad y además si a partir de cualquier natural n que satisface es propiedad se llega a que n + 1, también la satisface, entonces cada número natural la satisface.

Para probar que una propiedad  P se cumple con los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:

1º) Se comprueba para n = 1 (Comprobación)

2º) Se asume que se cumple para n = k (Hipótesis de inducción)

3º) Se predice que se cumple para n = k + 1 (Tesis)

4º) Se demuestra que se cumple para n = k, entonces se cumple para n = k + 1 (Demostración)

Observación: En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural m > 1.  Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para n = m

Ejemplo 1

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   n (n + 1)   es divisible por  2.

a) Sea   n    =    1, entonces:

  n (n + 1) = 2    (Verdadero).

b) Sea n = k, entonces:

  k ( k + 1) es divisible por 2     (Hipótesis de inducción).

c) Sea   n = k + 1, entonces:

  (k + 1) (k + 2 )   es divisible por 2  ( Tesis ) .

d) Demostración:

  (k + 1) (k + 2) = k2 + 2k + k + 2 = k2 + k + 2k + 2 = k (k + 1) + 2 (k + 1)

  k( k + 1) es divisible por 2 ( Por hipótesis de inducción )

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