Demostraciones Matemáticas

Capítulo 2. Demostración matemática.

El propósito de este capítulo es describir y ejercitarse en algunas de las técnicas de de-mostración más importantes: la demostración directa, la demostración indirecta, la de-mostración por contraposición y la demostración por reducción al absurdo.

Cuando veamos las características de cada uno de estos métodos, podremos ver con cierta claridad cuándo es uno de ellos preferible a los otros. Empecemos estudiando con-juntamente los dos primeros: demostración directa y demostración indirecta.

Los métodos de demostración directa e indirecta

Cuando quieres probar que la proposición “Si A entonces B” es verdadera, lo primero que tienes que hacer es reconocer quién es la proposición A y quién es B. Por lo general, todo lo que está entre las palabras “si” y “entonces” constituye la proposición A, y todo lo que está después de “entonces”, la B.

Otra forma de reconocerlo: todo lo que supones que es cierto, o sea, la hipótesis, es A y todo lo que tienes que probar que es cierto, o sea, la tesis, es B.

Consideremos el siguiente ejemplo:

Proposición: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área , entonces es isósceles.

En este ejemplo tenemos las proposiciones A “El triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área ” y B “ El triángulo rectángulo XYZ es isósceles”.

Si recuerdas los ejercicios que has hecho en el capítulo 1 en el apartado «Algo sobre la proposición “Si A entonces B”», cuando quieres probar que “A implica B”, puedes supo-ner que A es verdadera y usar de alguna forma esta información para concluir que B es verdadera.

El método de demostración indirecta

En el método de demostración indirecta, debes empezar preguntándote: “¿Cómo, o cuándo, debo concluir que la proposición B es verdadera?” Esta pregunta debes hacerla de forma general. En el ejemplo anterior, pongamos por caso, la pregunta (general) es: “¿Cómo puedo probar que un triángulo es isósceles?”

Esta pregunta, obtenida de la proposición B, la llamaremos en lo que sigue la pregunta clave. Una pregunta clave bien planteada no debería contener ni símbolos ni otras nota-ciones (salvo números) del problema que se está considerando. La llave para muchas demostraciones es formular correctamente la tal pregunta clave.

Una vez que has planteado la pregunta clave, tu paso siguiente en este método será res-ponderla. Volviendo al ejemplo anterior, ¿cómo puedo probar que un triángulo es isósce-les? Obviamente, una forma es probando que dos de sus lados tienen la misma longitud. Considerando nuestra figura, deberías probar que x  y. Observa que en la respuesta a la pregunta clave hay dos fases: en primer lugar, das una respuesta general que no contiene símbolos del problema planteado: demostrar que un triángulo es isósceles, es demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud. Luego, aplicas esta respuesta a la situación en cuestión: demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud, significa demostrar que x  y (no que x  z ó y  z).

Con el método de demostración indirecta, has construido una nueva proposición, B1, que tiene la propiedad de que si puedes demostrar que B1, es verdadera, entonces B lo será. En nuestro ejemplo, la nueva proposición es B1: x  y.

Si puedes probar que x  y, entonces el triángulo XYZ es isósceles. Una vez que has plan-teado la proposición B1, todos tus esfuerzos deberían dirigirse a intentar llegar a la con-clusión de que B1 es verdadera, pues entonces seguiría que B es verdadera. ¿Cómo pue-des demostrar que B1 es verdadera? ¿Cómo puedes plantear una nueva pregunta clave para B1?

Puesto que x e y son longitudes de dos lados de un triángulo, una pregunta clave razo-nable podría ser “¿cómo puedo probar que las longitudes de dos lados de un triángulo son iguales?”. Otra, igualmente razonable, sería “¿cómo puedo probar que dos números reales son iguales?” Al fin y al cabo, x e y son números reales.

Una de las dificultades que pueden surgir en el método de demostración indirecta es la posibilidad de más de una pregunta clave en algún paso. Elegir la correcta tiene más de arte que de ciencia. En algunos casos, habrá solamente una pregunta clave obvia; en otros casos, deberás proceder por ensayo y error. Aquí es donde tu intuición, esfuerzo, creatividad, tus diagramas, etc., pueden jugar un papel importante. Una norma general, es dejar que la información que encierra A (que estás suponiendo cierta) te ayude a elegir la tal pregunta. Al margen de la pregunta clave que finalmente plantees, el siguiente paso será responderla, primero en general y luego aplicada a la situación en cuestión. ¿Puedes hacer esto para las dos preguntas clave que supuestamente has planteado para B1? Para la primera, podrías demostrar que dos lados de un triángulo tienen igual longitud, proban-do que los ángulos opuestos son iguales. En nuestro triángulo significaría probar que los ángulos X e Y son iguales. Un rápido examen de la proposición A nos hace ver que no aporta mucha información sobre los ángulos del triángulo XYZ. Así pues, debemos elegir la otra pregunta clave.

Ahora estás ya frente a la pregunta “¿Cómo puedo probar que dos números reales (a saber, x e y) son iguales? Una respuesta es probar que su diferencia es cero. Desafortu-nadamente hay otra respuesta perfectamente razonable: demostrar que el primer número es menor o igual que el segundo y que el segundo es menor o igual que el primero. Así pues, surge una segunda dificultad en el método de demostración indirecta: puedes, incluso, elegir bien la pregunta clave pero puede haber más de una respuesta para ella. Por otra parte, puedes incluso elegir una respuesta que impida completar la demostra-ción. Por ejemplo, para la pregunta clave “¿Cómo puedo demostrar que un triángulo es isósceles?” estaría la respuesta “Demostrando que es equilátero”. Como puedes observar, es imposible demostrar que el triángulo de nuestro ejemplo es equilátero, pues uno de sus ángulos es recto.

Volviendo a la pregunta clave asociada a B1 “¿Cómo puedo demostrar que dos números reales (a saber, x e y) son iguales”, supón, por razones que seguro ya estás viendo, que eliges la respuesta de probar que su diferencia es cero. Has vuelto, en el método de de-mostración indirecta, a construir una nueva proposición B2 con la propiedad de que si puedes probar que B2 es verdadera, así lo será B1 y, por tanto, también B. Concretamen-te, la nueva proposición B2 es

B2: x  y  0.

Todos tus esfuerzos deben ahora dirigirse a llegar a la conclusión de que B2

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