DEMOSTRACION- MATEMATICAS ELEMENTALES

SUGERENCIAS PARA DEMOSTRAR

EL SIETE

Abstract. El objetivo del presente trabajo no es ense˜nar a demostrar;

en realaidad, la idea es que a trav´es de diversos ejemplos, el lector, ob-

serve las formas en las que se hacen las demostraciones (de los ejemplos

que aqu´ı presentamos) y comprenda la raz´on que condujo a realizar la

prueba de una u otra forma. Es por ´esto que en cada ejemplo justifi-

camos casi siempre, y en la medida de lo posible, la raz´on que conduce

a realizar la prueba que se expone. Esperamos que esto conduzca, al

lector, a iniciar de manera correcta o a tomar un mejor camino para

obtener una demostraci´on (o poderlas leer).

SUGERENCIAS PARA DEMOSTRAR

EL SIETE

Abstract. El objetivo del presente trabajo no es ense˜nar a demostrar;

en realaidad, la idea es que a trav´es de diversos ejemplos, el lector, ob-

serve las formas en las que se hacen las demostraciones (de los ejemplos

que aqu´ı presentamos) y comprenda la raz´on que condujo a realizar la

prueba de una u otra forma. Es por ´esto que en cada ejemplo justifi-

camos casi siempre, y en la medida de lo posible, la raz´on que conduce

a realizar la prueba que se expone. Esperamos que esto conduzca, al

lector, a iniciar de manera correcta o a tomar un mejor camino para

obtener una demostraci´on (o poderlas leer).

1. Introduction

Uno de los problemas principales que se presentan en los primeros cursos

de matem´aticas es en la parte de Demostraciones. Realmente es imposi-

ble establecer un algoritmo a trav´es del cual pudi´eramos obtener cualquier

demostraci´on; de hecho, por lo general la justificaci´on de la veracidad de

una proposici´on puede tiene varias formas de hacerlo. Sin emabargo, en

la presente secci´on, pretendemos eliminar algunos errores (comunes) que se

cometen a la hora de hacer demostraciones. Tambi´en buscamos que el lector

pueda llegar a iniciar una demostraci´on en forma correcta.

2. Sugerencias para demostrar

Antes de dar inicio, queremos dejar en claro que al querer justificar la

veracidad o falsedad de una proposici´on, una de las primeras cosas que

debemos tener en cuenta es qu´e tipo de proposici´on es la que tenemos o

con la que vamos a trabajar. Esto es, debemos estar claros si tenemos una

conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on o negaci´on, y si la proposici´on est´a o no

cuantificada; y en caso de estar cuantificada, debemos tener bien claro cu´al

es el cuantificador que se emplea o que se est´a usando. Una vez identificada

la proposici´on, debemos recordar o tener en claro cu´ales son las condiciones

o requisitos para que ´esta sea verdadera; por ejemplo, en el caso de una

conjunci´on, sabemos que es requisito que las dos proposiciones que la forman

sean verdaderas para que ´esta tambi´en lo sea.

Ahora haremos algunas observaciones referentes a implicaciones, a proposi-

ciones de la forma: p ⇒ q.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary 54A25.

Key words and phrases. Cardinal functions, cardinal inequalities.

12 EL SIETE

Para el caso en que el problema a resolver tenga la forma de una impli-

caci´on (proposici´on implica proposici´on), debemos tener bien claro cu´al es

el problema a resolver o mejor dicho, qu´e es lo que en verdad queremos o

debemos hacer. De manera digamos informal, vamos a tratar de explicar

un poco m´as este punto. Para hacerlo, supongamos que tenemos el ejercicio

siguiente:

Demuestre que ESTO implica LO OTRO.

Debemos entender que en el ejercicio se nos est´a pidiendo: Obtenga LO

OTRO, suponiendo que ESTO es verdadero (queremos se˜nalar que hemos

dicho: suponiendo que ESTO es verdadero porque en realidad, ESTO,

puede o no ser verdadero; sin emabrgo, para los fines del ejercicio se supone

verdadero). En otras palabras, en el ejercicio se nos pide obtener la veraci-

dad de LO OTRO, usando ESTO (y suponiendo que ESTO es verdadero). Y

cuando decimos: usando ESTO , es porque en alg´un momento debemos usar

la informaci´on que contiene ESTO (lo que formalmente es nuestra hip´otesis,

nuestro antecedente, nuestra informaci´on apriori).

Es importante comentar que en un ejercicio que dice: Demuestre que

ESTO implica LO OTRO; no nos est´an preguntando si ESTO y LO OTRO

son verdareros, ni mucho menos si ESTO es verdadero. Insistimos, lo que

debemos comprender es que en este caso, uno puede obtener LO OTRO,

usando ESTO (as´ı, si logramos demostrar que q es verdadera usando que p

es verdadera, concluimos que la implicaci´on p ⇒ q ser´a verdadera).

Ahora debe ser m´as natural comprender que en la proposici´on:

p ⇒ q

nos referimos a la proposici´on q como consecuente (consecuencia de... lo

que se obtiene del antecedente), y que nos referimos a p como antecedente,

porque el antecedente es eso, la informaci´on apriori, lo que nos lleva a obtener

una consecuencia, a concluir algo: el consecuente.

La manera de hacer la demostraci´on para un problema de la forma: De-

muestre que ESTO implica LO OTRO, puede ser de cuando menos dos

formas:

(1) DIRECTA: En este caso, generalmente, lo que se hace es construir

un razonamiento v´alido de la forma siguiente:

ESTO

ESTO ⇒ p1

.

.

.

pn ⇒ LO OTRO

LO OTRO

donde las premisas de dicho razonamiento deben asegurarse ver-

daderas. En la pr´actica, ese razonamiento se puede escribir (y sueleLO QUE FALTABA 3

escribirse) como sigue:

ESTO ⇒ p1 ⇒ p2... ⇒ pn ⇒ LO OTRO.

Es importante comentar que en este caso, cada implicaci´on puede

ser una mera consecuencia de la teor´ıa, de lo que quiere decir cada

proposici´on previa. Para aterrizar estas ideas, en varios de los ejem-

plos que presentamos en esta secci´on, pondremos entre par´entesis la

frase: quiere decir que, despu´es de la palabra entonces para hacer

notar que s´olo estamos usando definiciones o equivalencias de ´estas.

(2) INDIRECTA: Para el caso que nos interesa (ESTO implica LO

OTRO); debemos recordar que una proposici´on equivalente a p ⇒ q

es ¬q ⇒ ¬p. Luego, si nosotros demostramos que la proposici´on

¬q ⇒ ¬p es verdadera, autom´atica e indirectamente se obtiene que

...