Derivadas

Republica Bolivariana De Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica De La Fuerza Armada Nacional

Extensión Puerto Píritu.

El Estudio de la Reología y los fluidos

Profesor: Bachilleres:

Ing. José Luis Rodríguez Rojas, Paola C.I.: 18.945.724

Armas, Rosbelis C.I.: 23.659.561

Martínez, Nacarelis C.I.: 21.362.262

Sanez, David C.I.: 24.831.284

Mundarain, Handerson C.I.:

Puerto Píritu, noviembre de 2013

Introducción

En el siguiente trabajo explicaremos como al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico.

A continuación consideramos derivación numérica para algunos problemas típicos, ya formulados matemáticamente, para los cuales estudiaremos técnicas numéricas de solución.

Derivadas numéricas.

La derivación o diferenciación numérica consiste en evaluar derivadas de una función usando únicamente los valores que toma la función en una serie de puntos. La técnica de aproximar las derivadas por diferencias tiene muchas aplicaciones, en particular a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales.

Si recordamos la definición de derivada de una función f(x) en un punto x:

f^' (x)=lim/(h→0) (f(x+h)- f(x))/h

Tendremos que una primera aproximación al valor de f0(x) lo tendremos con la expresión:

f^' (x)≈ (f(x+h)- f(x))/h

De cara a analizar el error de la aproximación, supongamos que f(x) es derivable dos veces en un entorno del punto x y apliquemos la Formula de Taylor a f(x + h) en x:

f(x+h)=f(x)+f^' (x)h+(f^'' (ξ))/2 h^2

Para algún  2 (x; x + h). Despejando tendremos:

f^' (x)= (f(x+h)- f(x))/h-(f^'' (ξ))/2 h

De manera que la aproximación lleva asociado un error proporcional a h y a la derivada segunda de la función en un punto indeterminado. Denominando M2 al máximo que alcance f00(x) en [x; x + h] tendremos:

f^' (x)≈ (f(x+h)- f(x))/h,ε≤|h/2 M_2 |

Una aproximación similar se obtiene desarrollando la función f(x ¡ h):

f^' (x)≈ (f(x)- f(x-h))/h,ε≤|h/2 M_2 |

Es posible, sin embargo, mejorar la precisión de la siguiente manera: Consideremos los polinomios de Taylor de las funciones f(x+h) y f(x¡h), suponiendo que la función es al menos tres veces derivable:

f(x+h)=f(x)+f^' (x)h+(f^'' (x))/2 h^2+(f^''' (ξ_1))/6 h^3

f(x+h)=f(x)+f^' (x)h+(f^'' (x))/2 h^2+(f^''' (ξ_2))/6 h^3

Si restamos ambas expresiones y despejamos tendremos:

f^' (x)=(f(x+h)-f(x-h))/2-h^2/12 [f^''' (ξ_1 )+f^''' (ξ_(2)) ]

De manera que la aproximación (a veces denominada aproximación central) tendrá asociado un error proporcional a h2:

f^' (x)≈ (f(x+h)- f(x-h))/2h,ε≤|h/12 M_3 |

Siendo M3 el máximo de la derivada tercera en [x - h; x + h]. De manera análoga se obtiene una aproximación para la derivada segunda:

f^'' (x)≈ (f(x+h)-2f(x)+ f(x-h))/h^2 ,ε≤|h/12 M_4 |

Es interesante comentar que con las formulas anteriores pueden aparecer graves errores de redondeo, sobre todo si los datos de la función no se conocen con demasiada precisión y además h es muy pequeña, debido a las sustracciones que es necesario realizar (y los errores de redondeo que suelen llevar aparejados).

Ejemplo: Calcular la derivada primera de f(x) = tan x en x = 1 por los métodos anteriores, Usando h = 0:1; 0:05 y 0:02. Calcular el error (en porcentaje) comparando con el valor exacto:

f'1) = cos-2 1 = 3:425518821.

h = 0:1

f^' (1)≈(tan⁡(1+0.1)-tan⁡(1))/0.1=4.0735,ξ≈18.9%

f^' (1)≈(tan⁡(1)-tan⁡(1-0.1))/0.1=2.9724,ξ≈13.2%

f^' (1)≈(tan⁡(1+0.1)-tan⁡(1-0.1))/0.2=3.5230,ξ≈2.8%

h= 0.05

f^' (1)≈(tan⁡(1+0.05)-tan⁡(1))/0.05=3.7181,ξ≈8.5%

f^' (1)≈(tan⁡(1)-tan⁡(1-0.005))/0.05=3.1805,ξ≈7.1%

f^' (1)≈(tan⁡(1+0.05)-tan⁡(1-0.05))/0.1=3.4493,ξ≈0.69%

h= 0.02

f^' (1)≈(tan⁡(1+0.02)-tan⁡(1))/0.02=3.5361,ξ≈3.2%

f^' (1)≈(tan⁡(1)-tan⁡(1-0.02))/0.02=3.3224,ξ≈3.0%

f^' (1)≈(tan⁡(1+0.02)-tan⁡(1-0.02))/0.04=3.4293,ξ≈0.11%

Serie de TAYLOR.

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

Funcionamiento.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tengan la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

O expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n

F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio

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