Derivadas

I.- NOTACIONES DE DERIVADA: La derivada de una función se puede denotar considerando alguna de las siguientes simbologías, a saber:

• [pic 1]= se lee  “[pic 2]primo”.
• [pic 3]= Notación de Lagrange, se lee "f primo".
• [pic 4]  = Notación de Cauchy , se lee "d sub x de f".
• [pic 5]ó  [pic 6]= Notación de Leibniz

II.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA:

Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x)  , ver  (fig. 1) 

fig. 1.

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P. 

La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante. 

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente T  a la curva en P. 

Luego: [pic 16]recta secante [pic 17]= [pic 18];      donde:  [pic 19]Variación con respecto a “[pic 20]”[pic 21]

                                                       [pic 22] Variación con respecto a “x”.

Por lo tanto, La [pic 23]recta secante[pic 24][pic 25]

De tal manera que, La [pic 26]recta tangente (T) [pic 27][pic 28]

De lo cual se concluye que  LA DERIVADA POR DEFINICIÓN será:

[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Para recordar: La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Derivada de una función en un punto derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).

[pic 33]

Como podemos observar en la grafica en cada uno de los puntos la tangente de la curva posee una inclinación esa será la derivada respectiva en el punto.

Así en la grafica por ejemplo se puede decir que en “A” la derivada es “0” debido a que la tangente en el punto es horizontal y es por tanto 1. De la misma manera podemos deducir que en “B” la tangente es una recta decreciente por tanto la derivada será negativa y en “D” la recta tangente es creciente por tanto la derivada será positiva.

 Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en algunos de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.

EJEMPLO: Dada la  función [pic 34], obtenga la derivada “[pic 35]” para cada una, empleando para ello la definición.

Solución:[pic 36][pic 37]

Paso 1: Plantear la definición:

Como [pic 38] al cambiar x por x+Δx resulta[pic 39]

Paso 2: Sustituyendo en (1) se tiene, [pic 40]

Paso 3: Calcular el limite planteando para obtener [pic 41].

[pic 42]

Realizamos los productos necesarios para eliminar los signos de agrupación, se tiene que:

[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Simplificando al máximo para romper la indeterminación, se obtiene que:  [pic 48][pic 49]

Factorizando por el método de “Factor Común” el denominador resulta:[pic 50][pic 51]

Rompemos la indeterminación, y resolvemos el límite resultante por sustitución directa, resultando:

[pic 52]    La derivada será:  [pic 53]

Lo que me permite calcular la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva: [pic 54]

Por ejemplo la pendiente en x= -2 será:  es decir la recta que pasa por este punto es decreciente[pic 55]

la pendiente en x= 1/3 será: la recta es horizontal  y  [pic 56]

la pendiente en x= 2 será: : la recta es creciente.[pic 57]

De esta manera se pueden calcular infinitas pendientes a la curva según sea el punto.

[pic 58]

EJERCICIOS RESUELTOS I

1. Dada la  función [pic 59], obtenga la derivada “[pic 60]” para cada una, empleando para ello la definición.

Solución:[pic 61][pic 62]

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