Dimensión de una matriz

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Matrices

Introducción

Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real.

En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Sin embargo, agrupar los datos en un rectángulo nos muestra una representación más clara y fácil de los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz.

Definición

Sea A una tabla de números reales ordenada como sigue

 La tabla A se denomina matriz, esta es un arreglo rectangular de números denominados las entradas o elementos de la matriz.

 Se usarán letras mayúsculas para denotar las matrices y letras minúsculas para denotar a sus elementos.

 Cada elemento de una matriz se identifica por la hilera y la columna a la que pertenece.

 Utilizaremos la notación de subíndice doble para hacer referencia a los elementos de una matriz A. La entrada de la matriz A en la hilera “i” y columna “j” se denota “aij”.

 Las hileras se enumeran de arriba abajo y las columnas de izquierda a derecha.

Nota: A las hileras también se les conocen como filas o renglones.

Dimensión de una matriz

La dimensión de una matriz (llamada también el orden, tamaño o forma de una matriz), es una descripción de los números de hileras y columnas que tiene.

Una matriz tiene dimensión “mxn”, si tiene “m” hileras y “n” columnas.

Podemos denotar una matriz de manera compacta mediante (aij)mxn

Observación: (aij) ≠ aij

Matriz Elemento

Nota: Cuando se trabaja con matrices se acostumbra a referirse a sus elementos como escalares (números reales)

Ejemplo:

Determina la dimensión de las siguientes matrices y encuentra los elementos que se piden:

A= y B =

 Dimensión de A : 3x3

 Dimensión de B : 3x2

 a12: -3

 a23: -4

 a32: 0

 b13: No existe

 b22: -1

Algunos tipos de matrices

Igualdad de matrices

Dos matrices A y B son iguales (A = B), sí y solo si,

1. Tienen la misma dimensión.

2. Los elementos correspondientes son iguales, es decir :

A = B aij = bij i, j

Ejemplo:

Dadas las matrices

A= B= C=

discutir la posibilidad de que A = B, B = C y A = C

OPERACIONES DE MATRICES

A) Suma de Matrices

Si A y B son matrices de igual dimensión su suma A + B es la matriz formada al sumar sus elementos correspondientes, esto es,

Si A = (aij)mxn , B = (bij)mxn

→ A + B = (aij + bij)mxn para toda i, j

Nota: Si A y B no son de la misma dimensión no se puede efectuar la suma y se dice que la suma no existe.

Ejemplo:

Propiedades de la suma de matrices

Sean A, B, C matrices mxn, entonces:

1. Cerradura: A + B es una matriz mxn

2. Asociativa:( A + B ) + C = A + ( B + C )

3. Conmutativa: A + B = B + A

4. Identidad: Existe una matriz ømxn (matriz nula), tal que A + ø = ø + A = A

5. Inversa: Dada una matriz Amxn existe una matriz – Amxn, llamada MATRIZ INVERSA bajo la operación suma (cuyos elementos son los elementos de A cambiados de signo), tal que

A + (– A ) = (– A ) + A = ø

Nota: Si A y B son dos matrices de tamaño mxn se define A – B = A + (– B) = (aij – bij)mxn para toda i, j

B) Producto de una matriz por un escalar

Si una matriz A es de dimensión mxn y “c” es un escalar, entonces cA es una matriz mxn que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz A por c, esto es:

cA = c(aij)mxn = (caij)mxn ,

Ejemplo:

Si A= y C= 5

Entonces 5A =

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

Sean A, B matrices mxn y c1, c2 escalares, entonces:

1. c1(c2 A) = (c1c2 ) A

2. c1(A + B) = c1A + c1B

3. (c1 + c2)A = c1A + c2A

4. 0Amxn = ø mxn

5. 1A = A

C) Producto de matrices

Sean A una matriz de dimensión mxn y B una matriz de dimensión nxp.

El producto AB es la matriz C de dimensión mxp, donde la entrada cij de C es la suma de los productos correspondientes de la hilera “i” de la matriz A y la columna “j” de la matriz B.

Ejemplo

Entonces:

Nota:

Obsérvese que el producto de dos

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