EJEMPLO DE MUESTREO ALEATORIO CON REPOSICIÓN

EJEMPLO DE MUESTREO ALEATORIO CON REPOSICIÓN                                       ESTADIST. 1-    P.1

1. Entre los 8 alumnos de un aula unitaria situada en área rural de Lima pretendemos pasar 5 pruebas de velocidad lectora eligiendo cada vez al azar a uno de ellos. No tenemos ningún inconveniente en que un alumno pueda ser elegido más de una vez para realizar la prueba, por lo que vamos a realizar un muestreo aleatorio simple con reposición. ¿Cuántas muestras ordenadas posibles existen? ¿Qué probabilidad se asocia a cada una de ellas? ¿Qué probabilidad tenemos de que la muestra esté constituida por alumnos que se encuentran entre los 5 de mejor nivel en el área de lenguaje?

Solución:

Utilizando el cálculo probabilístico, en la primera elección, cualquier elemento tienen una probabilidad 1/8 de ser elegido.

 • Puesto que el elemento elegido es reintegrado a la población, la probabilidad en las sucesivas elecciones sigue siendo 1/8 para cualquier elemento.

 • La probabilidad conjunta de que uno cualquiera de los 8 sea elegido en primer lugar, uno cualquiera en segundo lugar, uno cualquiera en tercer lugar... es,

P = (1/8)(1/8)(1/8)(1/8)(1/8) = 0,0000305.

1.  Para resolver el tercer interrogante, calculamos el total de muestras ordenadas formadas por alumnos que se encuentran entre los 5 de mejor nivel en lenguaje. Se trata de las variaciones con repetición de orden 5 en un conjunto de 5 elementos:

                              5 5 = (5)(5)(5)(5)(5) = 3125.

1.  Recurriendo al cálculo de probabilidades, tenemos que la probabilidad de elegir a uno de los 5 mejores alumnos en la primera elección es 5/8. Tras ésta, la posibilidad de elegirlo en una segunda, tercera, cuarta o quinta elección sigue siendo 5/8. Por tanto, la probabilidad conjunta será:

                           (5/8)(5/8)(5/8)(5/8)(5/8) = 3125 / 32768 = 0,09532.

EJEMPLO DE MUESTREO ALEATORIO SIN REPOSICIÓN

1.  La probabilidad de elegir un elemento cualquiera es al principio 1/8. Tras la primera elección quedan 7 elementos entre los que elegimos uno; la probabilidad de elegir uno cualquiera será 1/7. Pata las restantes elecciones, tendremos probabilidades de 1/6, 1/5 y 1/4 respectivamente. Por tanto, la probabilidad conjunta de que cualquiera de los 8 aparezca en primer lugar, cualquiera de los 7 restantes en segundo lugar, cualquiera de los 6 restantes en tercer lugar,... será el producto de las probabilidades:

                         P = (1/8)(1/7)(1/6)(1/5)(1/4) = 1/6720.

1. La probabilidad de elegir un alumno cualquiera de los 5 mejores es al principio 5/8; en la segunda elección, suponiendo que ha sido elegido en primer lugar uno de esos alumnos y sólo quedan 4 entre los 7 restantes, la probabilidad será 4/7. Para las restantes elecciones tendremos 3/6, 2/5 y 1/4. La probabilidad conjunta será el producto:

                     P = (5/8)(4/7)(3/6)(2/5)(1/4) = 120 / 6720 = 0,01786.

USO DE UNA TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS

Ejemplo: Seleccionar una muestra de tamaño n=10% de una población:     N = 350. Se tiene n = 0,10x350 = 35.

Mediante una tabla de números aleatorios:

1º paso: localizar el punto de comienzo en una tabla de números al azar: (Nº fila, Nº columna),

Por ejemplo (6,5)

 2º paso: Utilizando el punto de comienzo obtenido en el 1º paso, seleccionar n números de tres dígitos, donde n es el número total de UE (n = 35). Se prefiere números de tres dígitos porque es más difícil encontrar valores iguales.

3º paso: Se ordenan los 35 números seleccionados del menor al mayor.

4º paso: Esta muestra se podría considerar como muestra piloto, a partir de la cual se calcularía una muestra de tamaño óptimo, para un error de muestreo y un nivel de confianza.

MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

Fundamental es aleatorio, pero se incorpora un criterio de ORDEN. Se gana en representatividad. Por ejemplo, de 1000 datos tomar una muestra de 100.

K (elementos) = N/n K = 1000/100 = 10

Arranque por sorteo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 99

MUESTRA

3,3+10,13+10,23+10,33+10,43+10,…

       3, 13, 23, 33, 43, 53, …

EJEMPLO 01: MUESTREO SISTEMÁTICO

Obtener una muestra de suscriptores telefónicos de una ciudad, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los números de las páginas del directorio telefónico y elegir el vigésimo nombre de cada página o podemos escoger un nombre de la primera página del directorio y después seleccionar cada nombre del lugar número cien a partir del ya seleccionado.

POR EJEMPLO 2: podríamos seleccionar un número al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los números: muestra: 40, 140, 240, 340, 440, 540, 640,… y así sucesivamente.

EJEMPLO 03: MUESTREO SISTEMÁTICO

A partir del listado alfabético de los 500 alumnos de 5º Ciclo de Administración de Negocios Internacionales matriculados en la UAP, queremos construir una muestra de 30 alumnos utilizando el procedimiento de muestreo aleatorio sistemático. ¿Qué alumnos debo incluir en la muestra?

Solución:

• Enumeramos todos los alumnos desde el 1 al 500, comenzamos calculando el coeficiente k:

 k = 500 / 30 = 16,67

 • Elegimos al azar un número del 1 al 16 y luego sumar el coeficiente k. En este caso, supongamos que por azar hemos elegido el número 1.

• 1-17,67- 34,34- 51,01- 67,68- 84,35- 101,02- 117,69- 134,36- 151,03- 167,7- 184,37- 201,04- 217,71- 234,38- 251,05- 268, 301, 318, 334, 351, 368, 384, 401, 418, 434, 451, 468, 484.

• La muestra (como k es decimal redondeamos cada elemento al final), quedará constituida por siguientes alumnos:

...