Ejemplo polinomio de Taylor

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Polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor es una aproximación polinómica de una función n veces derivable en un punto concreto.  En otras palabras, el polinomio de Taylor es una suma finita de derivadas locales evaluadas en un punto concreto. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación. La expansión de Taylor generalmente se aplica en activos y productos financieros los cuales su precio se expresa como una función no lineal

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Ejemplo polinomio de Taylor

Queremos buscar el segundo orden de la aproximación de Taylor de la función f(x) en un punto x0=1. 

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1. Hacemos las derivadas pertinentes de la función f(x). 

En este caso nos piden hasta el segundo orden, entonces, haremos la primera y segunda derivada de la función f(x):

Primera derivada:

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Segunda derivada: 

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2. Sustituimos x0=1 en f(x), f’(x) y f’’(x):

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3. Una vez tenemos el valor de las derivadas en el punto x0=1, lo sustituimos en la aproximación de Taylor: 

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Arreglamos un poco el polinomio: 

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DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR

La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:

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