POLINOMIO DE TAYLOR

1. Objetivo General.

Realizar una investigación que permita determinar que son los polinomios de Taylor, su aplicación y su planteamiento de resolución, para de esta manera entender su utilidad e importancia.

1.  Objetivos Específicos.

• Consultar los conceptos básicos acerca del polinomio de Taylor buscando información en sitios confiable.
• Determinar cuales son los pasos para seguir para poder resolver de manera adecuada los polinomios de Taylor.
• Realizar ejercicios de aplicación para poner a prueba los diferentes conceptos consultados.

1. Desarrollo.

POLINOMIO DE TAYLOR

Definición de Polinomios de Taylor

Sea f(x) una función con derivadas de orden k para k=1,2,…,N en torno a un punto x=a. Se define el polinomio de Taylor de orden n generado por la función f(x) en un entorno de x=a como:

[pic 1]

Siempre vamos a hablar de polinomio de Taylor de orden n y no de grado n.  Este es un error muy común que conviene evitar. La explicación es sencilla; si suponemos que tenemos f(x)=cos(x), los dos primeros polinomios de Taylor en x=0 serán: [pic 2]  y [pic 3]. Podemos observar que el polinomio de primer orden tiene grado cero y no uno.

Es interesante notar que el polinomio de Taylor de orden 1 de nuestra función f(x) en un punto x=a es una linealización de dicha función en el entorno de ese punto. De la fórmula nos quedaríamos con los dos primeros sumandos.

[pic 4]

Se aprecia claramente que tenemos la ecuación de una recta, por eso lo de linealización.

Resto o residuo de un polinomio de Taylor.

La diferencia entre la función ƒ(x) que queremos calcular en un punto a y el polinomio de Taylor de orden n que representa una aproximación a esta función en el punto a viene dada por el resto o residuo que, en valor absoluto, da el error de la aproximación:

Error = |Rn (x)| = |ƒ(x) − pn(x)

El error, calculado con la expresión anterior, sería un valor exacto. Pero como no conocemos el valor de la función ƒ(x) sino una aproximación, pn(x), no podemos saber qué error estamos cometiendo en la aproximación. Afortunadamente, podemos dar una expresión para este error con la que podremos estimar una cota superior del mismo. Esto nos permitirá saber en cada cálculo qué grado de precisión tendrá el resultado que obtenemos al aproximar una función por un polinomio de Taylor. Enunciaremos en forma de teorema estos dos resultados, la fórmula de Taylor y la expresión del resto o residuo, que nos da la precisión de esta fórmula.

...