Polinomio De Taylor

Primero se escribieron las funciones escritas en condiciones (i),(ii),(iii)

P(x)=A+Bx+Cx2 f(x) =Cosx

P´(x)= B+2Cx f´(x)= -Senx

P ´´(x)=2C f´´(x)= -Cosx

Tomando a=0, las condiciones se convirtieron en

P(0)=f(0): A=Cos0= 1

P´(0)=f´(0): B=-Sen0= 0

P´´(0)=f´´(0) 2C=-Cos0= -1  C= -1/(2)

La función cuadrática deseada es P(x)=1 -(1/2) x2, entonces las aproximación cuadrática es

Cosx=1 -(1/2) x2

La figura muestra la gráfica de la función Coseno junto con su aproximación lineal L(x)=1 y su aproximación cuadrática P(x)=1 -(1/2)x2 cerca de 0. Se puede apreciar que la aproximación cuadrática es más exacta que la lineal.

2. La aproximación a 0.1 significa que: abc(Cosx-(1 -(1/2) x2)) < 0.1 ↔ 0.1 >

(1 -(1/2) x2)-cosx>-0.1 ↔ cosx+0.1 > 1 -(1/2)x2 >cosx-0.1 ↔ cosx-0.1<

1 -(1/2)x2 < cosx+0.1.

De la gráfica se aprecia que es cierto en A y B encontramos que la coordenada en X de B y A esta cerca de ± 1.26. Esta aproximación coseno ~ 1-1/2 x^2 está cerca de 0.1 cuando -1.26 < x < 1.26.

3. Si P(x) = A+B (x-a) + C ( x-a)^2, entonces P´(x) = B+ 2c (x-a) y P´´(x) = 2c . Aplicando las condiciones (i), (ii) y (iii) , obtenemos

P(a) = F(a) : A=F(a)

P´(a) = F´(a): B=F´(a)

P´´(a) = F´´(a) : 2C = F´´(a)  c =1/2 F´´(a)

Tenemos F (1) = 2, F´ (1) = 1/4 y F´(x) = 1/2 (x+3) ^-1/2 . entonces F´´ (x) = 1/4 ( x+3)^-3/2F´´(1) = -1/32 . Del paso 3 la aproximación cuadrática P(x) es √(x+3) ~ F(1) + F´ (1) (x-1) + 1/2 . La figura muestra la función F(x) = √(x+3) junto con su aproximación lineal

L(x) = (1/4) X + (7/4) y su aproximación cuadrática P(x). Se puede apreciar que P(x) es una aproximación más exacta que L(x), todo esto representa la siguiente tabla:

L(x) Valor Real P(x)

√(3.98) 1.995 1.99499373 1.99499375

√(4.05) 2.0125 2.01246118 2.01246094

√(4.2) 2.05 2.04939015 2.049375

5. Tn (x)= Cₒ+C1(x-a) +C2(x-a)2 +C3 (x-a)3+……+ Cn (x-a)n. Si escribimos x=a en esta ecuación todos los últimos términos después del primero son 0 y obtenemos Tn(a)=C0.Ahora se diferencia Tn’(x) y obtenemos Tn’(x)= C1+2C2(x-a)+3C3 (x-a)2+……+nCn (x-a)n-1. Sustituyendo x=a da Tn’(a)=C0. Derivando tenemos T”(x)=2C2+2*3C3 (x-a)+……+nCn (x-a)n-2 y Tn”’(a)=2C2. Continuando de esta manera obtenemos T”’(x)=2*3C3+2*3C4 (x-a)+……+nCn (x-a)n-3 y Tn”’(a)=2*3C3. Se aprecia el patrón si seguimos derivando y sustituyendo x=a, obtenemos Tn(4)(a)= 2*3*^4C4. En general para cualquier número K entre 1 y n, Tn(k)(a)=2*3*4*5………KCk=K!Ck= → Ck= (f^((4) ) (a))/k!

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