Polinomios de Taylor

Teorema de Taylor

Cuando estudiamos el vídeo clase de las Series de Taylor y de Mclaurin pudimos observar como las funciones que son diferenciables infinitamente generan unas series de potencias conocidas como Series de Taylor. Estas series tienen la utilidad de que nos ofrecen unas aproximaciones en forma de polinomios de las funciones que las han generado en torno al punto x=a.

Para recordar un poco, decíamos que la serie de Taylor generada por f(x) en torno a x=a es:

[pic 1]

En el caso de la serie de McLaurin tendríamos que a=0, es decir, no es mas que la serie de Taylor particularizada para el punto x=0.

Sea f:]a,b[→Rf:]a,b[→R una función que admite derivada de orden nn en el punto x0∈]a,b[x0∈]a,b[.

Se define el polinomio de Taylor de orden nn alrededor del punto x0x0 como

Pn(f,x0)(x)=f(x0)+Pn(f,x0)(x)=f(x0)+

+n∑k=1f(k)(x0)k!(x−x0)k+∑k=1nf(k)(x0)k!(x−x0)k

Donde f(k)f(k) representa la derivada kk-ésima de ff (derivada de orden kk).

Si x0=0x0=0, el polinomio se denomina serie de Maclaurin de la función ff.

En el campo de las matemáticas, una serie de Taylor se define como la representación de una función como una suma infinita de términos que se calculan a partir de los valores de las derivadas de la función en un solo punto. La serie de Taylor obtuvo su nombre de Brook Taylor. Brook Taylor fue un matemático inglés en 1715. Está bien aproximar el valor de una función mediante la utilización del número finito de términos en la serie de Taylor. Aproximar el valor ya es una práctica común. En este proceso de aproximación, la serie de Taylor puede producir estimaciones cuantitativas sobre el error. Un polinomio de Taylor es el término utilizado para representar el número finito de los términos de la función inicial de la serie de Taylor.

Vamos a formalizar la afirmación de que conocida el valor de una función \,y=f(x)y=f(x) y de sus derivadas en un punto \,x_{0}x0​, podemos conocer el valor de la funcion en puntos próximos a \,x_{0}x0​

Teorema de Taylor. Si \,f\in C^{\infty}(\mathbb{R})f∈C∞(R), entonces:

TEOREMA DE TAYLOR FORMULA

f (x) = f(x0​) +   f ′ (x0​)(x−x0​) +  ​f′′ (x0​)(x−x0​)2+ ... [pic 2][pic 3]

...+  ​fn  (x 0​) (x−x0​)n[pic 4]

Teorema de Taylor ejemplos resueltos

Ejemplos de series de Taylor, entorno  [pic 5]

(a+x)2=a2+2ax+x2

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