Ejercicios De Mate

DESARROLLO

X = Lado mayor

Y= lado menor

Como es un rectángulo debe tener dos lados mayores y dos menores, esto es, dos lados X y dos lados Y. El área será X por Y, que según el enunciado es igual a 525 metros. Queda entonces la primera ecuación así:

XY = 525

La valla que rodea el terreno mide 100 metros, o sea es la medida del perímetro, o lo que es lo mismo, la suma de las medidas de los cuatro lados del rectángulo; esto quiere decir que la suma de dos de sus lados será 50 metros. La segunda ecuación quedará así:

X + Y = 50

Planteando el sistema:

X + Y = 50

XY = 525

Despejando Y:

Y = 50 – X

Sustituyendo:

X (50 – X) = 525

X2 – 50X + 525 = 0

x=(50±√(2500-2100))/2

X = 50 + 20 = 35

2

X = 35; Y = 15

X = 50 – 20 = 15

2

Y = 525 = 15

35

DESARROLLO

Este ejercicio se puede desarrollar de varias maneras. Vamos a ver una de ellas.

Primero planteamos el sistema:

X = cifra uno

Y = cifra dos

La diferencia entre estas dos cifras es 1:

X – Y = 1

Y la diferencia entre sus cuadrados es 9:

X2 – Y2 = 9

El sistema es:

X – Y = 1

X2 – Y2 = 9

Esta última ecuación, factorando, la podemos escribir así:

(X + Y) (X – Y) = 9

Y como la primera ecuación nos dice que X – Y es igual 1, podemos remplazar ese valor en la segunda así:

(X + Y) x 1 = 9

= X + Y = 9

Ahora el sistema queda:

X – Y = 1

X + Y = 9

Resolviendo:

2X = 10

X = 5

Sustituyendo en la ecuación original:

5 – Y = 1

Y = 4

Luego el número buscado es 54

DESARROLLO

Comenzaremos por realizar un gráfico como ayuda visual

El área es X por Y:

XY = 240

La diagonal viene siendo la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Por Pitágoras:

h2 = x2 + y2

Luego la segunda ecuación será:

X2 + Y2 = 262

X2 + Y2 = 676

El sistema queda:

XY = 240

X2 + Y2 = 676

Resolviendo:

Y = 240

X

X2 + 57600

X2

X4 + 57600 = 676 X2

= X4 - 676 X2 + 57600 = 0

t2 = X4

t = X2 t2 – 676t + 57600 = 0

t=(676±√(456976-230400))/2

t = 676 + 476 = 576

2

T = 676 – 476 = 100

2

t = X2 =√576 = 24

X = 24

Y = 10

DESARROLLO

X + 13 = lado mayor

Y = lado menor

XY = 420

El sistema quedará:

X + 13 = Y

XY = 420

Transponiendo:

X = Y- 13

XY = 420

Sustituyendo:

Y (Y- 13) = 420

= Y2 – 13Y = 420

Y2 – 13Y – 420 = 0

Y=(13±√(169+1680))/2

Y = 13 +43 = 56 = 28

2 2

Y = 13 – 43 = -30 = -15

2 2

Tomamos los valores positivos para X y despejamos Y:

28Y = 420

Y = 420 = 15

28

DESARROLLO

El sistema es:

X – Y = 1

X2 – Y2 = 9

Despejando X:

X = 1+Y

Sustituyendo en la segunda ecuación:

(1+Y)2 – Y2 = 9

= Y2 + 2Y - Y2 + 1 = 9

2Y + 1 = 9

...