El teorema de Bayes expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B,

El teorema de Bayes expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B, en términos de distribución de la probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de la probabilidad marginal de solo A.

Se utiliza en situaciones en donde el total de los resultados se ha divido en partes llamadas particiones las cuales presentan una característica en común.

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

1. Un negocio recibe artículos de varios proveedores. Proveedores 1, 2 y 3, surten el 27%, 33% y 40% respectivamente de los artículos. Se ha observado que el proveedor A surte 4% de artículos con defecto, el proveedor B surte 7% de artículos con defecto y el proveedor C surte 12% de artículos defectuosos. Si se elige un artículo al azar, hallar la probabilidad de que:

1. Sea defectuoso
2. No sea defectuoso
3. Lo haya suministrado el proveedor A dado que es defectuoso
4. Lo haya suministrado el proveedor B dado que no es defectuoso
5. No lo haya suministrado el proveedor C dado que es defectuoso

Distribuciones continúas de probabilidad

Para estas distribuciones la probabilidad es el área bajo la gráfica de la función correspondiente a entre dos valores de la variable aleatoria. Dicha probabilidad o área, se obtiene mediante la integral definida de la función

[pic 4]Distribución normal: También se le llama distribución o campana de Gauss. Es la distribución que más se aproxima al comportamiento de la variable en la vida cotidiana.

La función es:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Por lo tanto la probabilidad para una variable aleatoria con distribución normal, se calcula, mediante la siguiente integral.

[pic 8]

Como existen infinitas combinaciones de la media ( y la desviación típica (  significa que existen infinitas curvas normales, por lo cual se complica un poco el cálculo.[pic 9][pic 10]

Para simplificar el trabajo de utiliza un cambio de variable transformando a todas las infinitas curvas normales a una sola, la cual se llama Curva Normal Estánda o Canonica.

El cambio de variable utilizado es:

[pic 11]

Con esta fórmula de probabilidad se simplifica y queda:

[pic 12]

La integral anterior no se puede resolver por métodos analíticos exactos; por lo tanto se requiere un método numérico o aproximado para resolverse en este caso utilizaremos la regla de Simpson.

Utilizando la computadora se ha resuelto la integral con método numérico y los resultados se presentan en la tabla:

[pic 13][pic 14]

Ejemplo 1- Se sabe que el peso promedio de jóvenes de 17 años es de 65 kg con una desviación típica de 4.3 kg. Si se elige un joven de esa edad de manera aleatoria, hallar la probabilidad de que tenga peso de entre 60 y 72 kg.

[pic 15]

[pic 16]

Paso 1- Calcular valores de  y :[pic 17][pic 18]

 =  [pic 19][pic 20]

= [pic 21][pic 22]

Paso 2- Sustituir los valores de  y  en la integral:[pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Paso 3- Aplicamos la regla de Simpson:

[pic 27]

Nota: Se tomará que n es igual a 10 en todos los cálculos

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