El Álgebra Matricial

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MATRICES

En muchos análisis se supone que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El Álgebra Matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria.

7.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Una empresa produce cuatro productos A, B, C y D. El productor de cada artículo requiere cantidades específicas de dos materias primas, X y Y, y también cantidades determinadas de mano de obra. Suponga que la empresa desea comparar los números de unidades X y Y y de mano de obra que se requieren en la producción semanal de estos cuatro productos. En la siguiente tabla aparece información para tal caso.

Producto A B C D

Unidades de material X 250 300 170 200

Unidades de material Y 160 230 75 120

Unidades de mano de obra 80 85 120 100

Observe que los datos de esta tabla aparecen en forma natural en un arreglo rectangular. Si se suprimen los encabezados, obtenemos el arreglo rectangular de números siguiente:

250 300 170 200

160 230 75 120

80 85 120 100

Este arreglo es ejemplo de una matriz.

Una gran cantidad de otros conjuntos de datos tabulados forman naturalmente arreglos rectangulares. Veremos después que un buen número de cálculos que desearíamos realizar con tales datos corresponden a ciertas “operaciones con matrices” que se definen posteriormente.

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrado en grandes paréntesis rectangulares. Las matrices por lo regular se denotan con letras mayúsculas negritas como A, B o C.

Los números reales que forman el arreglo se denominan elementos de la matriz. Los elementos en cualquier línea horizontal forman un renglón y aquellos que se encuentran en cualquier línea vertical forman una columna de la matriz.

Si una matriz tiene m renglones y n columnas, se dice que su tamaño es m x n .

7.2 MATRICES ESPECIALES

| Una matriz de tamaño 1 x n sólo tiene un renglón y una matriz de tamaño m x 1 sólo tiene una columna. Una matriz que sólo tiene un renglón se conoce como matriz renglón o vector renglón. De manera similar, una matriz que sólo tiene una columna se denomina matriz columna o vector columna.

3

R = [1 2 3 4 ] C = -1

Con frecuencia conviene usar una notación de dobles subíndices para los elementos de una matriz. Por ejemplo, aij denota al elemento de la matriz A que está en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna.

Si todos los elementos de la matriz son cero, la llamamos matriz cero.

Una matriz con el mismo número de renglones que de columnas se conoce como matriz cuadrada.

2 1 3

P = 1 2 Q = 4 0 -1

3 4 3 1 2

Una matriz cuadrada se denomina una matriz identidad si todos los elementos de su diagonal son iguales a 1 y todos los elementos fuera de su diagonal son iguales a cero.

1 0 0

I = 1 0 I = 0 1 0

0 1 0 0 1

Dos matrices son iguales si son del mismo tamaño y sus elementos orrespondientes son iguales.

7.3 OPERACIONES CON MATRICES

Operaciones análogas a las de adición, sustracción, multiplicación y división de números reales se pueden definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposición de números reales, en lugar de un solo número real, algunas propiedades de las operaciones para los números reales no tienen equivalencia en las operaciones análogas con matrices.

a) Multiplicación de una matriz por un escalar

La multiplicación de una matriz por un escalar se refiere a la operación de multiplicar la matriz por un número real. Si A es una matriz m x n y c es cualquier número real, el producto cA es una matriz m x n obtenida multiplicando cada elemento de A por la constante c. Por ejemplo:

1 0 -1 2 0 -2

A = 0 -2 4 2A = 0 -4 8

b) Adición y sustracción de matrices

Dos matrices A y B del mismo tamaño pueden sumarse o restarse sumando o restando sus elementos correspondientes. Por ejemplo:

2 0 -1 3 1 2 5 1 1

3 4 5 + 2 0 -3 = 5 4 2

1 -2 3 3 2 -4 4 0 -1

2 0 -1 4 1 -2 -2 -1 1

3 4 5 - 2 6 1 = 1 -2 4

Ejemplo. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta de Vallejo está dada por la matriz A.

Modelo I Modelo II Modelo III

Tamaño I (20 pulg) 5 3 2

Tamaño II (23 pulg) 7 4 5 = A

Tamaño III (26 pulg) 10 8 4

La capacidad de producción en la planta de Querétaro está dada por la matriz B.

Modelo

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