Estadistica: Probabilidad

PROBABILIDAD

Teoría de Conjuntos

El lenguaje de los conjuntos

Existe un buen número de palabras que denotan conjuntos, como: recua de mulas, hatos de vacas, clases conscriptos, equipos de béisbol, manada de cerdos, racimos de unas, bandadas de golosinas y grupos étnicos.

Un conjunto consta de elementos o miembros, por ejemplo, una colección de monedas antiguas es un conjunto y las monedas son los elementos de la colección.

Ser miembro de un conjunto no necesariamente implica la existencia de una característica común y evidente o algún tipo de colectividad natural. Arbitrariamente se puede designar como conjunto a cualquier colección de objetos o imágenes dadas, por ejemplo: $, B, 93,  Ω, son miembros de un conjunto y por tal hecho, sus elementos están relacionados.

Métodos para describir un conjunto

Existen tres métodos que permiten describir un conjunto.

• Descripción por comprensión: Es la manera más sencilla de dar a conocer el contenido de un conjunto, y consiste en una descripción verbal del mismo.

Ejemplo:

El conjunto de los números superiores a 25, el conjunto de los números mayores que 5 y menores que 100, el conjunto de los días de la semana, el conjunto de las estaciones del año, el conjunto de los billetes actuales de los Estados Unidos Mexicanos, etcétera.

• Descripción por extensión: Forma que permite denotar el contenido de un conjunto mediante la presentación de una lista de sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplo:

El conjunto de los números inferiores a 12, puede representarse como: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.

El conjunto de las vocales del alfabeto castellano puede representarse como: {a, e, i, o, u}.

Si este método se aplica para describir todos los números inferiores de 1000, se tendrían que escribir 999 números; sin embrago, este conjunto puede representarse como: {1,2.3,…, 997, 998,999}.

Ahora bien, si se quiere describir el conjunto de todos los números superiores a 5, sería imposible escribir todos los elementos del conjunto; sin embargo, este se podría representar como: {6, 7, 8, 9,10….} donde los puntos suspensivos indican la continuidad indefinida de los elementos.

• Notación de constitución de conjuntos: La simbología (I) se denomina notación de constitución de conjuntos de describe un conjunto base en las condiciones de un elemento arbitrario del grupo, es decir, establece las condiciones bajo las cuales, un elemento cualquiera puede o no pertenecer al conjunto.

Ejemplo:

El conjunto de los números impares, mayores que 4 y menores que 14, puede expresarse como {xIx es un número impar, mayor que 4 y menor que 14}.

Las { } indican la notación del conjunto; la línea vertical I se lee como tal que; la letra X es un elemento arbitrario del conjunto y a su vez, una variable; el lado izquierdo de la línea vertical se lee como el conjunto de las X y al lado derecho de la línea vertical se tienen las condiciones necesarias para pertenecer al conjunto.

Conjunto Bien Definido

Un conjunto ésta bien definido cuando su descripción determina claramente y sin ambigüedad cuáles elementos pertenecen y cuáles no pertenecen a él; por ejemplo: los números impares que van de 5 a 15, es decir: {5, 7, 9, 11, 13,15} es un conjunto bien definido.

Pertenencia de un elemento a un conjunto

Para indicar pertenencia se usa el Símbolo  ϵ

Ejemplo:

Si a es un objeto que se encuentra dentro del conjunto A se escribe a  ϵ A, que se lee “a es un elemento que pertenece al conjunto A2. En caso contrario, la expresión a ∉ A indica que el elemento a no se encuentra dentro del conjunto A y se lee “a no pertenece al conjunto A”.

Notación matemática de conjunto

Un conjunto se puede designar por medio de una letra mayúscula, y es necesario citar esa letra, en lugar de escribir el conjunto por completo cada vez que se requiera.

Ejemplo:

Sea G el conjunto de los meses del año que comienzan con la letra A, es decir:

G = {abril, agosto}

Como se utiliza un número limitado de literales constantemente, el conjunto al que se hace referencia con determinada letra m no puede ser el mismo en otros casos; todo depende de cómo se establezcan las descripciones.

Algunas literales llegan asociarse con conjuntos particulares, por ejemplo, el conjunto universal.

Conjunto Universal

El  que contiene a los elementos de los conjuntos que se toman en cuenta en un análisis cualquiera se denomina conjunto universal o también universo y se representa por la letra mayúscula U.

Cabe mencionar que un conjunto puede varias de un contexto a otro, o bien, cambiar dentro de un mismo análisis.

Igualdad

Dos conjuntos A y B son iguales cuando A contiene exactamente los mismos elementos que B, o viceversa.

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = {b, g, o} y B = {b, g, o}, se establece que son iguales, ya que contienen exactamente los mismos elementos, es decir:

A = B        o        {b, g, o} = {b, g, o}

Se observa que el orden en que se anuncian los elementos del conjunto carece de importancia.

Si el conjunto A no es igual al conjunto B, es decir, cuando no tienen exactamente los mismos elementos, se utiliza la expresión A  ≠ B, que se lee “A diferente de B”.

Correspondencia uno a uno

Dos conjuntos M y N tienen correspondencia uno a uno (o también llamada correspondencia biunívoca), si cada elemento de M puede aparearse exactamente con uno de N y cada elemento de N puede aparearse exactamente con uno de M.

Ejemplo:

Sean los números M = {2, 4, 6} y N = {∞, θ, Ø}; en apareamiento puede ser:

2  4   6        4  6   2        6  2   4

↨  ↨   ↨         ↨  ↨   ↨        ↨  ↨   ↨

∞ θ  Ø         ∞ θ  Ø        ∞ θ  Ø

¿Cuántos apareamientos adicionales se pueden establecer?

6  2   4

↨  ↨   ↨

∞ θ  Ø

Conjuntos equivalentes

Dos conjuntos X y Y son equivalentes cuando presentan correspondencia uno a uno.

Ejemplo:

Sean los conjuntos X = {febrero, junio, diciembre} y Y = {Garza, Gómez, Méndez}, se establece que son equivalentes porque pueden aparearse uno a uno, es decir:

X = {febrero, junio, diciembre}

               ↨          ↨        ↨

Y = {Garza, Gómez, Méndez}

...