Estructuras de los Conjuntos Numéricos.

CAPITULO 3: Estructuras de los Conjuntos Numéricos.

Lección 5: El Conjunto de Números naturales; estructura algebraica y de orden. Ampliaciones sucesivas de los conjuntos numéricos: el conjunto de los enteros: sus estructuras.

En esta lección estudiaremos los conjuntos numéricos – conocidos por el estudiante desde la escuela primaria y secundaria, donde nos los enseñaron en forma intuitiva – fundamentándolos como lo requiere la matemática y destacando las propiedades que determinan en ellos estructuras algebraicas aplicables a diversos conjuntos de entes matemáticos.

LOS NUMEROS NATURALES.

El primer conjunto estudiado es el de los números naturales (N), que son aquellos que nos sirven para contar. En esta aplicación está su origen. ¿Cómo se fundamentan?

Hemos dicho en la lección anterior, que si entre dos conjuntos es posible definir una correspondencia biunívoca se determina una relación de coordinabilidad entre ellos. En tales casos ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, es decir tienen el mismo cardinal.

Si dado entonces un conjunto finito, consideramos el conjunto de las partes de él, podemos determinar en el conjunto de las partes, una partición en clases de equivalencia, tales que los subconjunto con un solo elemento van a pertenecer a C1; los subconjunto con dos elementos van a pertenecer a C2; los subconjunto con tres elementos van a pertenecer a C3 y así continuando. Este es en general el procedimiento que utilizaba el maestro al enseñar los números naturales en el nivel primario.

En particular: Sea A = {a, b, c, d} como vimos antes, el conjunto de las partes de A, tendrá 16 subconjunto:

P(A) = { { }, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b ,c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b. d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}} y la coordinabilidad puede establecerse en la siguiente forma

C1 = {{a}, {b}, {c}, {d}} todos estos subconjunto tienen en común el cardinal uno.

C2 = {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b ,c}, {b, d}, {c, d}} tienen en común el cardinal dos.

C3 = {{a, b, c}, {a, b. d}, {a, c, d}, {b, c, d}} tienen en común el cardinal tres.

y como la coordinabilidad puede establecerse en un conjunto consigo mismo encontramos que C4 = {{a, b, c, d}} tiene por cardinal cuatro, y

que C0 = {{}} tiene por cardinal cero.

En forma análoga podemos trabajar con cualquier otro conjunto finito, con lo cual resulta que los números naturales se obtienen tomando lo que es común a los conjuntos coordinables.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Cuando incluyamos el 0, anotaremos:

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Tenemos así fundamentado el concepto de Número natural, los nombres dados a estos números y los símbolos utilizados corresponden a nuestro sistema habitual de numeración, pero no son intrínsecos al número.

En cuanto a las operaciones conocidas en el conjunto N0, las principales son la suma y la multiplicación cuyas propiedades nos interesa recordar. Previamente aclaremos qué significa operación. Sea por ejemplo la suma de dos números naturales, su resultado es siempre un número natural. Por esta razón decimos que la suma es una operación interna en el conjunto de números naturales o bien que el conjunto de números naturales es cerrado para la operación de suma. Por otra parte para operar necesitamos un par ordenado de números o sea un elemento del producto cartesiano N0 x N0, siendo el resultado un elemento del conjunto N0. (Debemos tener en cuenta aquí, que al definir una operación, no siempre el resultado es un elemento del conjunto considerado. A lo largo del curso veremos ejemplos que certifican esta afirmación).

Luego la operación de suma es una aplicación del conjunto N0 x N0 en N0.

Simbólicamente expresamos: + : N0 x N0 à N0

Lo mismo podemos afirmar respecto de la multiplicación, que también es cerrada en el conjunto N0.

En cambio la diferencia y el cociente no son operaciones cerradas en este conjunto.

Veamos ahora las otras propiedades de la suma y el producto.

Suma. pp. asociativa: Para todo x , y, z Î N0, (x + y) + z = x + (y + z)

Existencia de neutro: Para todo x Î N0, existe 0 Î N0, x + 0 = 0 + x = x

pp. conmutativa: Para todo x, y Î N0, x + y = y + x

Estas propiedades definen en el conjunto N0 con la suma, una estructura algebraica que llamamos semigrupo conmutativo con unidad. Anotamos (N0, +) es un semigrupo.

Producto: pp asociativa: Para todo x, y, z Î N0, (x . y) . z = x . (y . z)

Existencia de neutro (o unidad): Para todo x Î N0, existe 1 Î N0,

1 . x = x . 1 = x

pp. conmutativa: Para todo x, y Î N0, x . y = y . x

Luego el conjunto N0 con el producto, tiene una estructura análoga a la anterior, es decir:

(N0, .) es un semigrupo conmutativo con unidad..

Veamos ahora las relaciones de desigualdad entre números naturales.

Relación de menor (o mayor). Dados dos números naturales cualesquiera sabemos distinguir cuando uno es menor ( o mayor) que otro. En efecto:

a < b Û a + x = b siendo x ¹ 0.

a > b Û b + x = a siendo x ¹ 0

Estas relaciones son de orden estricto por lo ya explicado en nuestra lección anterior. Consideremos en particular la relación de menor (<); aplicándola a N0 tenemos el orden creciente que hemos indicado al expresar el conjunto. Sus propiedades son:

pp. antisimétrica: Si a < b y b < a entonces a = b

pp. transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c.

orden total: para todo a, b Î N0, si a ¹ b entonces a < b ó b < a.

Análogamente, si consideramos la relación de mayor (>), tendremos también un orden en N0, pues esta relación como la anterior goza de las mismas propiedades; solo que en este caso el orden es decreciente.

Es oportuno mencionar entonces que tomando uno de estos órdenes (por ejemplo el orden creciente), es posible representar, como hacíamos en la escuela secundaria, los números naturales sobre una semirrecta. Para ello tomamos arbitrariamente un segmento unidad que nos permite determinar puntos sucesivos sobre la semirrecta, a partir del origen. A estos puntos podemos asignarle en consecuencia los sucesivos números naturales a partir del 0 coincidente con el origen.

Una pregunta importante que podemos formularnos aquí, es la siguiente: ¿Cual es el número

...