Conjunto Numerico

Matemática.

Conjunto Numérico.

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.

Existe el conjunto numérico Q: Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....

0,10200300004000005....

El conjunto numérico N* = N0: surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

El conjunto numérico z: El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número ilimitado de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). y el ultimo el conjunto numérico I = Q*:Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los números irracionales.

Sus características estructurales más importantes son:

• Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

• Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)

• Admiten relación de orden

• Admiten relación de equivalencia

• Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

• Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

• El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

- Números naturales

- El 1

- Números primos

- Números compuestos

- Números enteros

- El cero

- Números enteros negativos

- Números racionales

- Números irracionales

- Números reales

- Número imaginario

• Extensiones de los números reales

- Números complejos

- Números complejos algebraicos

• Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto C de los números complejos.

• El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.

Clasificación de números

Complejos

Reales Racionales

Enteros

Naturales

1: uno

Naturales primos

Naturales compuestos

0: Cero

Enteros negativos

Fraccionarios

Fracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Irracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios

Representación gráfica de una recta numérica.

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.

La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.

Propiedades y numeraciones y operaciones de un conjunto numérico.

Conjuntos Numéricos y Propiedades

Los números naturales son los números que utilizamos para contar, estos son: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,…}. Los puntos suspensivos indican que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca.

Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si restamos 5 – 5 , necesitamos otro número que represente el resultado. Ese número es cero. Entonces tenemos otro conjunto numérico que en adición a incluir los números naturales incluye el cero. Este conjunto es el conjunto de los númeroscardinales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,…}.

En el diario vivir se escuchan expresiones como: “10 grado bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se refieren a números menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,4,…}.

Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro número entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales. Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir de la forma donde b es diferente de cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros son números racionales. Otros ejemplos de números racionales son:

Existe otro conjunto de números que que son los números irracionales, estos son números que no son racionales, esto es, que no se

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