Conjuntos Numericos

CONJUNTOS NUMERICOS

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número ilimitado de elementos; Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar.

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:

Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1.

Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural.

Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.

Números Enteros

Conjunto de los Números Enteros

Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo:

5 – 20 = ¿?).

Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos: Z +

Enteros Positivos y el Cero: Z 0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

El conjunto de números enteros, es también infinito; Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero.

Por ejemplo:

La pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4.

La pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.

Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; entre otros.

Números Racionales

Q = Conjunto de los Números Racionales

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b.

Esta fracción en la cual el numerador es “a”, es un número entero y el denominador “b”, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).

Se expresa por comprensión como:

Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 }

Q = { a / b tal que a y b pertenece A “Z”; y b distinto A “0” }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

El conjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí.

A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador.

Los racionales serán positivos o negativos según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen.

Así será que parejas de enteros de igual signo definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo.

No existen racionales cuyo denominador sea 0.

Números Reales

Se representan con la letra R

El conjunto de los Números Reales ( R ) está integrado por:

• El conjunto de los Números Racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semi- periódica.

• El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; Es decir, el conjunto de los Números Reales (R) está formado por los elementos del conjunto (Q) unido con (I).

El campo de los números reales es más amplio que el de los racionales; ya que incluye números que no están formados por parejas de enteros.

Se trata de un conjunto también infinito.

Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.

A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.

Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.

Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)

Operaciones Básicas:

Suma:

La operación suma consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más cantidades.

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma:

1. Asociativa:

El modo de

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