Monografia De Conjuntos Numericos.

LOGICA PROPOSICIONAL

Presentación

Un propósito a lograr en el área de matemática, es que los alumnos aprendan a razonar matemáticamente. Tal propósito no se lograría, si es que no pasa del mundo de las opiniones empíricas al mundo del pensamiento formal. Pero, un pensamiento sistemático, auténtico y coherente no puede surgir sin la base de un método crítico correcto. En este sentido, el conocimiento de la lógica (ciencia que se ocupa del estudio de los métodos y principios para distinguir el buen razonamiento del malo), se hace indispensable.

Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia no es válida. Sabemos que la conclusión se deriva correctamente de sus premisas porque hay un conjunto de leyes lógicas que garantizan dicha corrección. Justamente la lógica estudia el modo de usar estas leyes, con las cuales podemos saber si una inferencia es válida o no. De ahí que, la lógica es una ciencia que estudia los métodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia.

Así como existe una teoría para realizar cálculos con números (la aritmética) o con objetos más complejos como diferencial e integral, también existen reglas precisas para manejar proposiciones. Esto último corresponde al estudio de la lógica proposicional

• Enunciado

Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas, otros en cambio, pueden ser verdaderos o falsos.

Ejemplo 1. Son enunciados:

• ¿Qué hora es?

• ¡Arriba Perú!

• 2 + 5 = 7

• La cordillera del Cóndor es peruano

• 2x + 3 = 5

• Proposición

Ejemplos 2: Las siguientes afirmaciones son proposiciones:

• Omate es nombre de una ciudad andina.

• Horacio Zeballos Gamez nació en Carúmas

• 1 + 1 = 3

• 1 + 6 = 7

• El cuadrado de todo número par también es par.

Las proposiciones pueden ser simples (o atómicas) y compuestas, cuando esta compuesta por varias proposiciones simples

Ejemplos 3: Las dos primeras afirmaciones son proposiciones simples y los restantes, compuestas

• El triángulo es un polígono

• 1 + 7 = 5

• Si Juan va al cine, entonces tiene dinero

• Un triángulo es equiángulo si, y solo si es equilátero

• Marcos en ingeniero o Beatriz es profesora

• Enunciado abierto

Ejemplo. Son enunciados abiertos:

Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" son enunciados abiertos

A los enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina función proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al sustituirse la variable por una constante específica.

Ejemplo:

El enunciado abierto

x2 + 1 = 5

Es una función proposicional, el cual se convierte en proposición cuando:

• i. Para x = -3 (por ejemplo), se convierte en la proposición

(-3)2 + 1 = 5……………………… (F)

el cual tiene valor de verdad Falsa

• ii. Para x = 2, entonces, será la proposición

(2)2 + 1 = 5……………………… (V)

el cual tiene valor de verdad Verdadera

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.

Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo:

Hoy es Viernes

Ayer llovió

Hace frío

La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sería:

hoy_es_Viernes

ayer_llovió

hace_frío

La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:

hoy_es_Viernes y hace_frío.

A la proposición anterior dada como ejemplo, se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lógica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposición compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lógicos involucrados.

Los conectadores básicos de la lógica proposicional, se dan en la Tabla 4.1. Las tablas de verdad para las operaciones básicas, se muestran en la Tabla 4.2.

NOMBRE CONECTOR SÍMBOLO

Conjunción

Disyunción

Negación

Implicación

Equivalencia AND

OR

NOT

If-Then

Igual ^

v

~

=>

=

p q Disyunción

p v q Conjunción

p ^ q Negación

~p Implicación

p => q Equivalencia

p = q

V V V V F V V

V F V F F F F

F V V F V V F

F F F F V V V

Tabla 4.1 Conectores básicos de la lógica proposicional

Tabla 4.2 Tablas de verdad para operadores lógicos

El conectador de implicación, puede ser considerado como un condicional expresado de la siguiente forma:

Si A => B va a ser verdadero,

Entonces toda vez que A sea verdadero, B debe ser siempre verdadero.

Para los casos en los cuales A es falso, la expresión A => B, es siempre verdadera, independientemente de los valores lógicos que tome B, ya que el operador de implicación no puede hacer inferencias acerca

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