Expresiones Algebraicas

Expresiones algebraicas

Las expresiones puramente algebraicas, por ejemplo los polinomios, se caracterizan simplemente por el uso de constantes, variables, operadores y funciones, signos específicos como por ejemplo la igualdad «=» y signos de puntuación, pero no signos lógicos. En principio cualquier expresión algebraica es lo que en un lenguaje formal con igualdad se denomina ecuación. Otras expresiones algebraicas comunes son:

• monomio, binomio, trinomio

• serie matemática

• identidad

• inecuación

Ejemplo:

Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular.

Si suponemos que mide metros de largo e metros de ancho, tenemos que:

• Perímetro

• Área

Monomio

es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera + ó - seria binomio), un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

Ejemplos:

Son monomios, pero:

No son monomios, por que los exponentes no son naturales.

Binomio

consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.

Puede llamarse "binomio de razones trigonométricas".

Trinomio

es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términos que no puede simplificarse más.

Ejemplos

1. con , , variables;

2. con , , variables;

3. con variable, las constantes son enteros positivos y , constantes arbitrarias.

Serie

es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Identidad

es la constatación de que dos objetos que matemáticamente se escriben diferentes, son de hecho el mismo objeto.1 En particular, una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas. Las identidades suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.

Ejemplos

En el conjunto de los números complejos, la identidad de Euler

Relaciona de manera muy simple los números fundamentales 0; 1; i; π; y e. Esta identidad no relaciona variables sino únicamente constantes matemáticas.

La Identidad de Euler es un caso particular de otra identidad más general dada por la fórmula de Euler para ángulos distintos de pi.

En trigonometría, existen numerosas identidades que facilitan los cálculos. Por ejemplo,

Es una identidad, cierta para cualquier número real o complejo .

Inecuación

es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional:

• Ejemplo de inecuación condicional:

Polinomio

es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1º- Si está ordenado.

...