FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.

2        FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.

Objetivo: El alumno aplicará las propiedades de los números y sus subconjuntos, para demostrar algunas proposiciones por medio del método de Inducción Matemática para resolver inecuaciones.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Giuseppe Peano propuso cinco postulados que caracterizan al conjunto de los números naturales.

Definición:

El conjunto    de los números naturales es tal que:[pic 1]

1. [pic 2]

El número uno es un número natural.

1. Para cada    existe un único    , llamado el siguiente de  [pic 3][pic 4][pic 5]

Si elegimos un número natural, sea cual fuere éste, a dicho número corresponde uno y sólo un número natural llamado su siguiente.

1. Para cada    se tiene que  [pic 6][pic 7]

Este postulado arroja como consecuencia que el número uno es el primer número natural, puesto que no es el siguiente de ninguno.

1. Si    y    , entonces  [pic 8][pic 9][pic 10]

Dos números naturales cuyos siguientes sean iguales son, en realidad, el mismo número.

1. Todo subconjunto    de    que tenga las propiedades:[pic 11][pic 12]

1. [pic 13]
2.   implica que  [pic 14][pic 15]

Es el mismo conjunto  [pic 16]

El postulado nos dice que podemos alcanzar cualquier número natural partiendo del uno y recorriéndolos siguientes uno a uno hasta llegar al número natural deseado. Este postulado, conocido a menudo como “principio de inducción”.

Definición y propiedades: adición, multiplicación y ordenen los números naturales.

La Adición en  [pic 17]

Definición:

1.   ,  [pic 18][pic 19]
2.   , siempre que    esté definido.[pic 20][pic 21]

Ejemplo:

Obtener el valor de    siguiendo paso a paso la definición anterior.[pic 22]

Propiedades:

 :[pic 23]

1.                                                 cerradura[pic 24]
2.                         asociatividad[pic 25]
3.                                         conmutatividad[pic 26]
4. si  , entonces         cancelación[pic 27][pic 28]

Inducción Matemática

Sea    una proposición enunciada para todos los números naturales, y sea[pic 29]

[pic 30]

Para demostrar que    es verdadera para todos los números naturales bastará con probar que    ; para lo cual se hace lo siguiente:[pic 31][pic 32]

1. Verificar que    es verdadera (esto equivale a verificar que    ).[pic 33][pic 34]
2. Demostrar que si  (HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA) es verdadera, entonces  (POR DEMOSTRAR TESIS) es verdadera[pic 35][pic 36]

(esto equivale a demostrar que  ).[pic 37]

Ejemplos:

Demostrar, por medio de inducción matemática, que:

[pic 38]

Demostrar, por medio de inducción matemática, que:

[pic 39]

Demostrar, por medio de inducción matemática, que:

[pic 40]

[pic 41][pic 42]

Demostrar, por medio de inducción matemática, que:

[pic 43]

Demostrar por medio de inducción matemática la validez de la siguiente expresión:

[pic 44]

La Multiplicación en  [pic 45]

Definición:

1. [pic 46]
2. [pic 47]

Propiedades:

 :[pic 48]

1.                                                 cerradura[pic 49]
2.                         asociatividad[pic 50]
3.                                         conmutatividad[pic 51]
4. si  , entonces         cancelación[pic 52][pic 53]

Tomadas simultáneamente, las operaciones de adición y multiplicación satisfacen la siguiente ley distributiva.

Propiedades:

 :[pic 54]

[pic 55]

Orden en  [pic 56]

Definición:

Dados dos números naturales    y    , decimos que    es menor que    , lo que representamos mediante    , si[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

[pic 62]

Los números naturales satisfacen la siguiente propiedad, llamada:

Ley de tricotomía

Si    y    son números naturales cualesquiera, entonces se verifica una y sólo una de las siguientes proposiciones:[pic 63][pic 64]

1. [pic 65]
2. [pic 66]
3. [pic 67]

Representación gráfica de los números naturales.

Propiedades:

 :[pic 68]

1. [pic 69]
2. [pic 70]
3. [pic 71]

Definición:

Dados dos números naturales    y    , decimos que    es mayor que    , lo que representamos mediante    , si  [pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Solución de la ecuación:

[pic 78]

¿Solución?

¿Necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales?

La diferencia de números naturales

Definición:

Sea la ecuación:

[pic 79]

A su solución; es decir, al número que sumado a nos da como resultado , lo llamaremos la diferencia, y se presentan tres casos:[pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

1)        si         ;        la solución es un número natural.[pic 84]

2)        si         ;        la solución es cero.[pic 85]

3)        si         ;        la solución es un número entero negativo.[pic 86]

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